第二节函数的值域和函的单调性、最值基础知识梳理1．函数的值域(1)函数的值域的定义：在函数y＝f(x)中与自变量x的值对应的y的值叫做，的集合，叫做函数的值域．(2)确定函数值域的原则：a.当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指集合；b.当函数y＝f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象上每一个点的纵坐标组成的集合；c.当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由确定．函数值所有函数值表格中所有y值组成的定义域和解析式基础知识梳理(3)求函数值域的方法有：、、、、、、等．直接法换元法配方法判别式法几何法不等式法单调性法基础知识梳理2．函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)区间D基础知识梳理(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间．增函数减函数区间D基础知识梳理3．复合函数的单调性设函数y＝f(u)，u＝g(x)都是单调函数，那么复合函数y＝f[g(x)]在其定义域上也是单调函数，对于复合函数的单调性，可概括为“同增异减”，或用下表说明.基础知识梳理y＝f(u)u＝g(x)y＝f[g(x)]↗↗↗↘↘↘↘↗↘↗↗↘基础知识梳理4.函数的最值(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有.②存在x0∈I，使得.则称M是f(x)的最大值．(2)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：f(x)≤Mf(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有.②存在x0∈I，使得.则称M是f(x)的最小值．f(x)≥Mf(x0)＝M三基能力强化1．值域为(0，＋∞)的函数是________．①y＝x2－x＋1②y＝131－x③y＝312－x＋1④y＝|log2x2|解析： y＝x2－x＋1≥34；y＝131－x∈(0，＋∞)；y＝312－x＋1>1且y≠2；而y＝|log2x2|≥0.答案：②三基能力强化2．(2010年惠州二次调研)给出下列四个函数：①f(x)＝x＋1，②f(x)＝，③f(x)＝x2，④f(x)＝sinx，其中在(0，＋∞)是增函数的有________．1x答案：①③三基能力强化3．对a、b∈R，记max{a，b}＝a，a≥b，b，a1)．证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．x－2x＋1【思路点拨】利用函数单调性的定义或看作两个函数的和来研究．课堂互动讲练【证明】法一：任取x1，x2(∈－1，＋∞)，不妨设x10，ax2－x1>1且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0，又 x1＋1>0，x2＋1>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．∴x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝(x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1)＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1)>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1>0，课堂互动讲练法二：f(x)＝ax＋1－3x＋1(a>1)，求导数得f′(x)＝axlna＋3(x＋1)2， a>1，∴当x>－1时，axlna>0，3(x＋1)2>0，f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，则f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．法三： a>1，∴y＝ax为增函数，又y＝x－2x＋1＝1＋－3x＋1，在(－1，＋∞)上也是增函数．∴y＝ax＋x－2x＋1在(－1...
