第3节空间点、直线、平面之间的位置关系(对应学生用书第98页)3．理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念．4．能证明一些空间位置关系的简单命题．(对应学生用书第98～99页)1．平面的基本性质及公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内质疑探究：如何判断两直线是异面直线？提示：①可以利用定义判断两直线不同在任何一个平面内．②利用“过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线”去判断．(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：(0，π2]．3．直线与平面的位置关系4.两个平面的位置关系5.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．若直线a∥b，b∩c＝A，则直线a与c的位置关系是(D)(A)异面(B)相交(C)平行(D)异面或相交解析：因为a∥b，b∩c＝A，所以由公理4知a与c一定不平行，故选D.2．直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为(B)(A)1(B)3(C)6(D)0解析：如图所示，可知确定3个平面．3．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么(A)(A)M一定在直线AC上(B)M一定在直线BD上(C)M可能在直线AC上，也可能在直线BD上(D)M既不在直线AC上，也不在直线BD上解析：由题意EF⊂平面ABC，M∈EF，故M∈平面ABC，同理M∈平面ACD，由公理3，M必在平面ABC和平面ACD的交线AC上，故选A.4．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．解析：易证EF∥BD，BD∥B1D1，故∠CB1D1就是异面直线B1C与EF所成的角或所成角的补角．连接B1D1，D1C知△CB1D1为正三角形，故B1C与EF所成的角为60°.答案：60°(对应学生用书第99～100页)共点、共线、共面问题【例1】如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？思路点拨：(1)用三角形中位线定理证之(2)法一：证明D点在EF、CH确定的平面内．法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交证得四点共面．(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解：C、D、F、E四点共面，证明如下：法一：由BE綊12AF，G为FA中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．法二：如图，延长FE、DC分别与AB交于点M，M′， BE綊12AF，∴B为MA的中点， BC綊12AD，∴B为M′A的中点，∴M与M′重合，即EF与CD相交于点M(M′)，∴C、D、F、E四点共面．(1)证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况，其常用方法如下：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．③反证法(2)证明空间点共线问题：①一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．②选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．(3)证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上．异面直线的判定【例2】如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问...
