1.空间向量及有关概念(1)空间向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模.(2)相等向量:在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.(3)共线向量:有向线段所在的直线叫做向量的基线，如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b.2.空间向量的基本定理(1)共线向量定理对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数x,使a=xb.(2)共面向量:通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量.(3)共面向量定理:如果两个向量a、b不共线,则向量c与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对x,y,使c=xa+yb.(4)空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.我们把a,b,c叫做空间的一个基底,a、b、c都叫做基向量.第六节空间向量及其运算基础梳理3.向量的线性运算(1)空间向量求和有三角形法则和平行四边形法则,其中三角形法则可推广到空间中多个向量的求和,这个和向量通常称为“封口向量”.(2)实数λ与向量a的积仍为一个向量,记为λa,且λa与a为共线量,|λa|=|λ||a|.(3)空间向量的加法与数乘运算满足:①交换律,即a+b=b+a;②结合律,即(a+b)+c=a+(b+c);③分配律,即(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.4.两个向量的数量积(1)已知空间两个向量a,b，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉叫做两个空间向量a,b的数量积.(2)两个向量a,b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cos〈a,b〉.(3)两个向量数量积的性质①a·e=|a|cos〈a,e〉(其中e为单位向量);②a⊥ba·b=0;③|a|2=a·a;④|a·b|≤|a||b|.(4)两个向量数量积的运算律①(λa)·b=λ(a·b);②a·b=b·a;(③a+b)·c=a·c+b·c.5.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系的建立如图，是单位正方体,以O为原点,分别以射线OA、OC、OO′的方向为正方向,以线段OA、OC、OO′的长为单位长,建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz,O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面,yOz平面,zOx平面.OABCOABC(2)空间直角坐标系中点的坐标①点P的x坐标:过P作一个平面平行于平面yOz,这个平面与x轴的交点记为Px,它在x轴上的坐标为x,数x叫做点P的横坐标.②点P的y坐标:过P作一个平面平行于平面xOz,这个平面与y轴的交点记为Py,它在y轴上的坐标为y,数y叫做点P的纵坐标.③点P的z坐标:过点P作一个平面平行于平面xOy,这个平面与z轴的交点记为Pz,它在z轴上的坐标为z,数z叫做点P的竖坐标.空间中任意一点与三个实数的有序数组一一对应.(3)空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广,是空间向量模长公式的推广.如果知道几何体上任意两点的坐标,可以直接套用公式.设则11112222Px,y,z,Px,y,z,22212212121222dP,Pxxyyzz,Px,y,zdO,Pxyz.特别地，到原点的距离6.空间向量的直角坐标运算(1)已知则(2)若点111222ax,y,z,bx,y,z,121212212121111121212abxx,yy,zz;abxx,yy,zz;a(x,y,z);abxxyyzz.①②③④111222212121Ax,y,z,Bx,y,z,ABxx,yy,zz.点则(3)空间向量平行和垂直的条件①②③121212xx,a//b(b0)yy,zz;111222222xyzxyz0,b;xyz若则a//121212abxxyyzz0.(4)两个向量夹角及向量长度的坐标计算公式设则①;123123111222aa,a,a,bb,b,b,Ax,y,z,Bx,y,z,222123aaaa②;③④与a同向的单位向量112233222222123123abababcosa,baaabbb〈〉222212121ABxxyyzz;�312222222222123123123aaaae,,.aaaaaaaaaa典例分析题型一向量的线性运算【例1】如图所示,在平行六面体中,设,M,N,P分别是的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1);(2);(3).分析从要求的向量出发，选取适当的三角形（或平行四边形）,利用向量的...
