高中数学 归纳法教学课件 新人教A版选修2 课件VIP免费

2.3数学归纳法（第一课时）问题情境一已知数列的通项公式为}{na22)55(nnan（1）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？（2）你的猜想正确吗？对于数列｛｝，na)1(2111nnnaaa)∈(*Nn（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你认为你的结论一定正确吗？如何证明猜想是正确的？11a问题情境二??是否用行之有效，有限的步骤进行证明呢？骨牌全倒下，需要哪些条件呢？1、第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题2、共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况相似性体现在哪些方面？??多米诺骨牌与我们要解决的问题二有相似性吗？数学建构类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明要证明当n=1时猜想成立，由条件知，n=1时猜想成立即要证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立.（1）已知第一张牌要倒下111111,(),21nnnnaaaaa已知猜想（2）要保证任意前一块倒下，后一块也倒下完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。1,)11(121)a1(a21a时，1kn则1,a时猜想成立，即kn假设kk1kk所以对任意正整数n，猜想都成立，即数列的通项为1na1,)11(121)a1(a21a时，1kn则1,a时猜想成立，即kn假设kk1kk综合（1）和（2），知对任意正整数n，猜想都成立，即数列的通项为1na(1)当n=1时，由条件知猜想成立。（2）情景二的证明过程概念建构一般地证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立；2.（归纳递推）假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法就叫做。数学归纳法概念建构222222(1)[(1)1][2(1)1]1234(1)6kkkkk目标：例利用数学归纳法证明：学以致用22222*(1)(21)1234().6nnnnnN•两个步骤和一个结论缺一不可:•第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳奠基（基础）；•第二步是归纳步骤，是推理的依据，能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中“假设n=k时成立”称为归纳假设。•第三步是总体结论，也不可少。1、已知三角形内角和为180°，四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2)180°，若用数学归纳法证明，第一步验证n取第一个正整数时命题成立，则第一个正整数取值为___________2、用数学归纳法证明（a≠1），在验证n=1等式成立时，左边应取的项是__________.221111nnaaaaa3、用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)••••时，在证明n=k+1时：左边代数式为，共有项，从k到k+1左边需要增乘的代数式为321aa[(k+1)+1]•[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]K+1自我测评)))((12212212kkkk（即（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)证明：假设当n=k时等式成立，即2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)那么，当n=k+1时，有2+4+6+8+…+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，对于任何nN*等式都成立。缺乏“递推基础”这就是说，当n=k+1时,命题也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左边右边*111(3)()1223(1)1nnNnnn没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法请修改为数学归纳法证明①当n=1时,左边=,212111)1(1321211kkkk②假设n=k(kN*)∈时原等式成立，即此时，原等式成立。那么n=k+1时,由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.11==1+12右边证明①当n=1时,左边=,21211*111(3)()1223(1)1nnNnnn1)1(1321211kkkk11111223(1)(1)(2)111(1)(2)(1)1kkkkkkkkkk这才是数学归纳法②假设n=k(kN*)∈时原等式成立，即21111右边=此时，原等式成立。那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论；(3)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来解决“无限”的问题(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法回顾反思