2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一般地，实数一般地，实数λλ与向量与向量aa的的积积是是一个一个向向量量，记作，记作λλaa，它的，它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1)|(1)|λλaa|=||=|λλ||||aa||(2)(2)当当λ>0λ>0时时,,λλaa的方向与的方向与aa方向相同；方向相同；当当λ<0λ<0时时,,λλaa的方向与的方向与aa方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当λ=λ=00或或a=0a=0时时,,λa=0λa=0设设a,ba,b为任意向量，为任意向量，λ,μλ,μ为为任意实数任意实数，则有：，则有：①①λλ((μμaa)=()=(λμλμ))aa②②((λ+μλ+μ))a=a=λλa+a+μμaa③③λλ((a+ba+b)=)=λλa+a+λλbb已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·ba·b=|a||b|cosθ规定:零向量与任一向量的数量积为0。|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的数量积是一个数量。向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。设ba、是非零向量，be是与方向相同的单位向量，ea与是的夹角，则cos||)1(aeaae0)2(baba|;|||)3(bababa同向时，与当|;|||bababa反向时，与当特别地2||aaaaaa||或2a||||cos)4(baba||||||)5(babaOABθabB1||||cosabab例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。OABθ|b|cosθabB1ba等于a的长度||a方向上的投影在ab与cos||b的乘积。练习：1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．对任意向量a有22||aa√××××√二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：cbcacbabababaabba))(3()()())(2()1(其中，cba、、是任意三个向量，R则(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)注：？)()(cbacba例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.5.||3,||4,abkakbakb例已知当且仅当为何值时，向量与互相垂直？例42)(3)abab求（。||6,||4,abab已知与60,o的夹角为作业：)(,2432,1||||1cbacabacbakbakbababa求证：是非零向量，且、设的值。互相垂直，求也与且、若3、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示，已知⊙如图所示，已知⊙OO，，ABAB为直径，为直径，CC为⊙为⊙OO上任意一点。求证∠上任意一点。求证∠ACB=90°ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。ACCB�0ACCB�解：解：设则，由此可得：,AOaOCb�,ACabCBab�ACCBabab�2222||||abab220rr即，∠ACB=90°0CBAC
