3．3.3函数的最大(小)值与导数【课标要求】1．能够区分极值与最值两个不同的概念．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．【核心扫描】1．利用导数求给定区间上函数的最大值与最小值．(重点)2．常与函数的单调性、参数的讨论等知识结合命题．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的；(2)将函数y＝f(x)的与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．极值各极值端点处的函数值(3)若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．(4)开区间(a，b)上连续函数y＝f(x)的最值的几种情况图(1)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值；图(2)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最小值无最大值；图(3)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既无最大值也无最小值；图(4)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值又有最小值．题型一求函数在闭区间上的最值【例1】求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]．[思路探索]先求f′(x)，再令f′(x)＝0得到相应的x的值，通过列表，确定出极值点，求极值与端点值，从而比较大小确定最值．解(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1，0)0(0，1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60极大值4极小值3极大值4－5∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， f′(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f′(x)在[－1，1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.规律方法求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．【变式1】求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；(2)f(x)＝12x＋sinx，x∈[0，2π]．解(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表x－2(－2，0)0(0，2)2(2，4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37极大值3极小值－535∴当x＝4时，f(x)取最大值35.当x＝－2时，f(x)取最小值－37.(2)f′(x)＝12＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝23π或x＝43π.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：题型二含参数的最值问题【例2】已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．(2)求f(x)在区间[0，2]上的最大值．[思路探索]①先对函数求导，由f′(1)＝3得a的值及切线方程；②根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在[0，2]上的最大值．解(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.①当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.②当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.③当0<2a3<2，即0
2）.规律方法由于参数的取值范围不同，会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，分类时一般从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定．【变式2】在本例(2)中区间[0，2]改为[－1，0]，结果如何？解令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝23a，①当23a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1，0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0；②当23a≤－1，即a...
