第三节双曲线1．双曲线的定义(1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：①与两个定点F1，F2的距离的等于常数2a.②2a|F1F2|.(2)上述双曲线的焦点是F1，F2，焦距是.当2a＝|F1F1|和2a＞|F1F2|时，动点的轨迹是什么图形？若2a＝0，动点的轨迹又是什么？【提示】当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．差的绝对值＜|F1F2|.双曲线标准方程的一般求法(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应a、b、c即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上．②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程．③定值：根据题目条件确定相关的系数．【注意】当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，根据条件，可分别设出两种标准方程，或者将方程统一设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？【提示】离心率越大，双曲线的“开口”越大．(1)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联系．(2)双曲线的形状与e的关系：k＝ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1，e越大，即渐进线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔．1．已知双曲线的离心率是2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x210－y26＝1D.x26－y210＝1【解析】由题知c＝4，且ca＝2，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12，∴双曲线方程为x24－y212＝1.【答案】A2．下列曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1D.x24－y210＝1【解析】 e＝62，∴e2＝32.即c2a2＝32.∴a2＋b2a2＝32.∴b2a2＝12.故B选项正确．【答案】B3．双曲线x2m2－4－y2m＋1＝1的焦点在y轴上，则m的取值范围是()A．－2＜m＜2B．1＜m＜2C．－2＜m＜－1D．－1＜m＜2【解析】因为焦点在y轴上，所以m＋1＜0m2－4＜0⇒－2＜m＜－1.【答案】C4．双曲线x210－y22＝1的焦距为________．【解析】由已知有c2＝a2＋b2＝12，所以c＝23，故双曲线的焦距为43，【答案】435．与椭圆x249＋y224＝1有公共焦点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率之比为74的双曲线的标准方程是________．【解析】对椭圆x249＋y224＝1，a＝7，b＝26，∴c＝5，e＝57，设双曲线方程为x2m2－y2n2＝1(m＞0，n＞0)，∴m2＋n2＝2557÷5m＝47，解得m＝4，n＝3，∴双曲线标准方程为x216－y29＝1.【答案】x216－y29＝1(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)，求双曲线方程；(2)与双曲线x216－y24＝1有共同的焦点，且过点(32，2)，求双曲线方程．(3)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【思路点拨】(1)(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意得关于a、b的两个方程．(3)利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．【解析】(1)设双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，可得双曲线方程为x29－y216＝14.(1)设双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1(－4＜k＜16)，将点(32，2)代入得k＝4，可得双曲线方程为x212－y28＝1.(3)如图(1)若直线y＝32x与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的交点在实轴上的射影恰好为双曲线的焦点，则双曲线的离心率为()A.2B．2C．22D．4(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为________．【解析】(1)设直线y＝32x与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点P(x，y)，则题意得x＝±c，x2＝c2，y2＝94c2，则c2a2－9c24b2＝1，c2a2－9c24(c2－a2)＝1，e2－9e24(e2－1)＝1，解得e＝2，故选B.(2)由题意得|PF1|＝3...
