§1.3中国古代数学中的算法案例1.3中国古代数学中的算法案例课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标1.通过阅读课本中的算法案例，体会其中蕴涵的算法思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平，并能利用它们解决具体问题．2．对本节涉及的几种算法——等值算法、割圆术、秦九韶算法，应在理解的基础上掌握其程序及算法步骤，体会古代数学中的算法思想．课前自主学案1．编写算法常用的语句有输入语句、___________、赋值语句、___________、循环语句，对应着_______结构、条件结构、______结构．2．在两个正数的所有公约数中最大的一个公约数为它们的______________温故夯基温故夯基输出语句条件语句顺序循环最大公约数．1．等值算法在我国古代也称为_________________，它是用来求两个正整数____________的算法，其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数，继续这个操作，直到__________________为止，则所得数就是____________________2．割圆术是我国魏晋时期的数学家________在注《九章算术》中采用________________逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π的一种方法．知新益能知新益能更相减损之术最大公约数所得的两数相等所求的最大公约数．刘徽正多边形面积3．秦九韶算法是我国南宋数学家________在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算多项式的值的方法．思考感悟如果多项式中按x的降幂排列时“缺项”，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么问题？提示：所缺的项应添零补齐，即将所缺的项补上，写成系数为零．秦九韶课堂互动讲练最大公约数的求法考点突破考点突破例例11分别用辗转相除法和等值算法求319和261的最大公约数．【思路点拨】使用辗转相除法可依据m＝nq＋r，反复执行，直到r＝0为止；用等值算法是根据m－n＝r，直到n＝I为止．【解】辗转相除法：319÷261＝1(余58)，261÷58＝4(余29)，58÷29＝2(余0)．所以319与261的最大公约数是29.等值算法：319－261＝58,261－58＝203,203－58＝145,145－58＝87,87－58＝29,58－29＝29.即(319,261)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(58,29)→(29,29)．所以319与261的最大公约数是29.【名师点评】可以发现辗转相除法和等值算法求得的最大公约数是相同的，但用辗转相除法的步骤较少，而等值算法运算简单、但步骤较多，在解题时应灵活运用．求多项式的值例例22用秦九韶算法计算f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6在x＝2时的值．【思路点拨】可根据秦九韶算法原理，先将所给的多项式进行改写，然后由内向外逐次计算即可．【解】先将f(x)化为f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6.v1＝1×2＋2＝4，v2＝v1×2＋3＝11，v3＝v2×2＋4＝26，v4＝v3×2＋5＝57，v5＝v4×2＋6＝120.故多项式f(x)在x＝2时的值f(2)＝120.【名师点评】利用秦九韶算法计算多项式的值，关键是能否正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于下一次计算需用到上一次的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．另外，当多项式有几项不存在时，可将这几项的系数看作0.变式训练1求多项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7当x＝5时的值．解：f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7＝((((2x－5)x－4)x＋3)x－6)x＋7，v1＝2×5－5＝5，v2＝5×5－4＝21，v3＝21×5＋3＝108，v4＝108×5－6＝534，v5＝534×5＋7＝2677.所以f(5)＝2677.实际应用例例33有甲、乙、丙三种溶液，分别重416kg、334kg、229kg.先要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同．问：每瓶最多装多少？【思路点拨】根据题意，每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数．先求任意两个数的最大公约数，然后再求这个数与第三个数的最大公约数．【解】416＝256＝15036；334＝154＝13536；229＝209＝8036；15036－13536＝1536；13536－1536＝12036；12036－1536＝10536；10536－1536＝9036；9036－1536＝7536；7536－1536＝6036；6036－1536＝4536；4536－1536＝3036；3036－1536＝1536；即416，334的最大公约数为1536，8036－1536＝6536；6536－1536＝5036；5036...
