1.1.7柱、锥、台和球的体积学习目标学习目标1.了解祖暅原理及等体积变换的意义．2．掌握柱、锥、台、球的体积公式并会求它们的体积．课堂互动讲练知能优化训练1．1.7课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基1．棱长为a的正方体体积V＝_____.2．长方体的长、宽、高分别为a、b、c，其体积为V＝_________.3．底面半径为r，高为h的圆柱的体积为V＝____________.a3abcπr2h知新益能知新益能1．长方体的体积公式V长方体＝________＝_________.其中a、b、c分别是长方体的长、宽和高，S、h分别是长方体的底面面积和高．2．祖暅原理幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在______________的两个几何体，被__________________的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积________，那么这两个几何体的体积________．abcSh两个平行平面间平行于这两个平面总相等相等3．祖暅原理的应用______________、_________的两个柱体或锥体的体积相等．4．柱、锥、台、球的体积其中S表示面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径.等底面积等高名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h锥体棱锥13Sh圆锥13πr2h台体棱台13h(S＋SS′＋S′)圆台13πh(r2＋rr′＋r′2)球43πR3把锥体用平行于底面的平面截开，截得的小锥体的体积与原锥体的体积之比等于截得小锥体的高度与原锥体的高度之比的立方．由V锥体＝13Sh，那么三棱锥的任何一个面都可以作底面吗？提示：可以．思考感悟课堂互动讲练考点突破考点突破柱体的体积对于不易求出的柱体，应当进行适当的变形和“割补”，使其成为易求的柱体，运用公式求之．棱柱ABC－A′B′C′的侧面AA′C′C的面积为S，且这个侧面到与它相对的侧棱BB′之间的距离为a，求这个棱柱的体积．【分析】此题若直接求底面ABC的面积及其上的高，将是困难的，能否考虑采取补充或截割的办法，以已知面积的侧面为底来解呢？如图，设法补上一个与原三棱柱全等的三棱柱，成为一个平行六面体，再将面AA′C′C看做底来求．例例11【解】如图，过侧棱BB′、CC′分别作侧面AC′、AB′的平行平面，DD′是交线，再伸展两底面，得到平行六面体ABDC－A′B′D′C′. 侧面AA′C′C的面积为S，设此面为底面，则平行六面体BDD′B′－ACC′A′的高为a，∴V平行六面体＝Sa.又V棱柱ABC－A′B′C′＝12V平行六面体，∴V棱柱ABC－A′B′C′＝Sa2.【点评】当所给几何体的体积不易求出时，我们可以通过“割补法”，使之变形为我们熟悉的几何体去解决．跟踪训练1正三棱柱侧面的一条对角线长为2且与该侧面内的底边所成角为45°，求此三棱柱体积．解：如图为正三棱柱ABC－A1B1C1，则有AB1＝2，∠B1AB＝45°，∴AB＝BB1＝2，∴S△ABC＝12×2×32×2＝32.∴V三棱柱＝32×2＝62.即此三棱柱的体积为62.将台体的体积与上、下底面积及高建立函数关系或者根据等量建立方程．台体的体积例例22已知正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面积是780cm2.求正四棱台的体积．【分析】借助于正四棱台内直角梯形，求得棱台底面积及高，从而求解其体积．【解】如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．由S侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780得EE1＝13.在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝12A1B1＝5，OE＝12AB＝10，∴O1O＝E1E2－OE－O1E12＝12，V正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．故正四棱台的体积为2800cm3.【点评】在求台体的体积时，关键是根据题设条件，分析得出所求问题需要哪些量，现在已知哪些量，然后归纳到正棱台的直角梯形中列式求解，最后代入体积公式求解体积．跟踪训练2棱台的上底面积为16，下底面积为64，求棱台被它的中截面分成的上、下两部分体积之比．解：如图，将棱台还原成棱锥，AA1，BB1，CC1分别是轴截面与小锥、中锥、大锥底面的交线，则AA1∶CC1＝16∶64＝1∶2. BB1为棱台轴截面的中位线，∴AA1∶BB1∶CC1＝1∶32∶2＝2∶3∶4.∴V小∶V中∶V大＝23∶33∶43＝8∶27∶64，∴(V中－V小)∶(V大－V中)＝(27－8)∶(64－27)＝19∶37，即上、下两部分体积之比为...
