直线与圆相切【例1】已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，P点的坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A、B.求：(1)直线PA、PB的方程；(2)过P点的圆的切线长；(3)直线AB的方程．221(2)210.1,22|3|2,167071.7150.110Pykxkxykkkkkkkxyxy如图，设过点的圆的切线方程为＋＝－，即－－－＝因为圆心到切线的距离为，即＝所以－－＝，解得＝或＝－所以所求的切线方程为－－＝或＋【－】＝解析2222222.Rt822.7150129,(,)55(1)(2)210,0,1(1)(2)233.230PCCAPCAPAPCCAPCxyAxyxyBxyABxy连结，在中，＝－＝，所以过点的圆的切线长为由解得．又由解得．所以直线的方程为－＋＝(1)过圆上一点作圆的切线只有一条；(2)过圆外一点作圆的切线必有两条．在求圆的切线方程时，会遇到切线的斜率不存在的情况．如过圆x2＋y2＝4外一点(2,3)作圆的切线，切线方程为5x－12y＋26＝0或x－2＝0，此时要注意斜率不存在的切线不能漏掉；(3)本题中求直线AB的方程是通过求切点，根据两切点A、B的坐标写出来的．事实上，过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的切线，经过两切点的直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.其证明思路为：设切点A(x1，y1)、B(x2，y2)，P点坐标满足切线PA、PB的方程，从而得出过A、B两点的直线方程．22(2)114223MxyQxQAQBMABQAMBABMQ已知圆：＋－＝，是轴上的动点，、分别切圆于，两点．求四边【变式练形的面积的最小值；若＝，求习1】直线的方程．22222222·1132211331Rt13.3,0295(50)25250252510.2MAQBMAAQSMAQAQAMQMAMQMQABMQPMPABMBBQMPMBQMBMPMQMQMQQxxxQMQxyxy四边形因为，所以＝＝＝＝＝设与交于点，则，，＝＝在中，＝，即＝，所以＝设，则＋＝，＝，，所以，，所以直线的方程为＋－＝或】－＋析＝【解【例2】直线与圆相交实数m为何值时，直线l：2x－y＋m＝0与圆O：x2＋y2＝5.(1)无公共点；(2)截得的弦长为2；(3)交点处两条半径互相垂直．【解析】(1)由题知，圆心O(0,0)，半径r＝5，直线l：2x－y＋m＝0与圆无公共点，设O到l的距离为d，则d＝|m|5.由题意可知d>r，即|m|5>5.所以m>5或m<－5.(2)由题意可知r2＝d2＋1，所以5＝m25＋1，所以m＝±25.(3)设l与圆交于A、B两点，因为OA⊥OB，OA＝OB，所以△AOB为等腰直角三角形．则d＝22r，即|m|5＝22×5，所以m＝±522.本题考查了直线与圆相离与相交问题，侧重考查直线与圆相交的相关问题．垂径定理是解决直线与圆相交的重要工具，应熟练掌握．【变式练习2】如图，在直角坐标系中，A，B，C三点在x轴上，原点O和点B分别是线段AB和AC的中点，已知AO＝m(m为常数)，平面上的点P满足PA＋PB＝6m.(1)试求点P的轨迹C1的方程；(2)若点(x，y)在曲线C1上，求证：点(x3，y22)一定在某圆C2上；(3)过点C作直线l，与圆C2相交于M，N两点，若点N恰好是线段CM的中点，试求直线l的方程．【解析】(1)由题意可得点P的轨迹C1是以A，B为焦点的椭圆．且半焦距长c＝m，长半轴长a＝3m，则C1的方程为x29m2＋y28m2＝1.(2)若点(x，y)在曲线C1上，则x29m2＋y28m2＝1.设x3＝x0，y22＝y0，则x＝3x0，y＝22y0.代入x29m2＋y28m2＝1，得x20＋y20＝m2，所以点(x3，y22)一定在某一圆C2上．(3)由题意C(3m,0)．设M(x1，y1)，则x21＋y21＝m2.①因为点N恰好是线段CM的中点，所以N(x1＋3m2，y12)．代入C2的方程得(x1＋3m2)2＋(y12)2＝m2.②联立①②，解得x1＝－m，y1＝0.故直线l有且只有一条，方程为y＝0.圆与圆的位置关系225(1,2)252xyP求与圆＋＝外切于点－，且半径为的【例】圆的方程．2222222()(1)(2)(25)3,261(3)(6)20.()311,(1,2)()633(3)(6)2012.CabababbaxyCabaOPOCabbxy�设所求圆的圆方法：方法【解析】心为，，则解得故所求圆的方程为＋＋－＝设所求圆的圆心为，．因为所以－＝，，所以故所求圆的方程为＋＝：＋－本题的关键是采用待定系数法求圆心的坐标，步骤是：根据两圆相外切的位置关系，寻找圆心满足的条件，列出方程组求解．方法2利用向量沟通两个圆心的位置关系，既有共线关系...
