3．2空间向量的应用3．2.1直线的方向向量与平面的法向量学习目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念及求法．2．理解平面的方程及求法．3．能综合有关知识解决问题．课堂互动讲练知能优化训练3．2.1课前自主学案课前自主学案温故夯基1．已知两个非零向量a，b，则a⊥b⇔a·b＝0.若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.2．直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的斜率为____，与该直线垂直的直线的斜率为___.－ABBA1．直线l的方向向量我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做_______________．2．法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作______，此时，我们把向量n叫做平面α的______．知新益能直线l的方向向量法向量n⊥α直线的方向向量与平面的法向量各有几条？它们各自之间的关系是怎样的？提示：各有无数条，直线的方向向量都是平行向量，平面的法向量都是平行向量．问题探究课堂互动讲练考点突破直线的方向向量在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．设a、b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断直线l1、l2的位置关系：(1)a＝(－1,2，－1)，b＝(3，－6,3)；(2)a＝(－1，－2,2)，b＝(2，－3，－2)．【思路点拨】直线的方向向量与直线位置的关系是a∥b⇔l1∥l2；a⊥b⇔l1⊥l2.据此可判断两直线的位置关系．例1【解】(1)因为(3，－6,3)＝－3(－1,2，－1)，所以b＝－3a，所以l1∥l2.(2)因为a·b＝(－1，－2,2)·(2，－3，－2)＝(－1)×2＋(－2)×(－3)＋2×(－2)＝0，所以a⊥b，所以l1⊥l2.【点评】利用直线的方向向量可以判断两条直线的平行、垂直关系：设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，则①l1∥l2(或l1与l2重合)⇔a∥b⇔a＝kb；②l1⊥l2⇔a·b＝0.自我挑战1在空间直角坐标系中，已知点A(2,4,0)，B(1，3,3)，P是线段AB上的一点，且满足AP∶PB＝1∶2，试求点P的坐标．解：AB→＝(－1，－1,3)是直线AB的方向向量．由AP∶PB＝1∶2，得AP→＝13AB→.设点P坐标为(x，y，z)，则(x－2，y－4，z)＝13(－1，－1,3)，即x－2＝－13，y－4＝－13，z＝1，解得x＝53，y＝113，z＝1.因此，点P的坐标是(53，113，1)．平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可以先确定平面的法线，再取它的方向向量．也可以直接设定向量与平面内的两条相交直线垂直，而得到平面的法向量．(本题满分14分)正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．求平面A1AD的一个法向量．求平面的法向量例2【思路点拨】设n＝(x，y，z)是平面A1AD的一个法向量，根据n⊥平面A1AD，在平面中找到两个不共线的向量与法向量垂直，利用向量数量积找出x、y、z之间的关系，从而确定n的坐标．【规范解答】取BC的中点O、B1C1的中点O1，连结AO、OO1，易证AO⊥平面BCC1B1.以O为原点，以向量OB→、OO1→、OA→的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(－1,1,0)，A(0,0，3)，A1(0,2，3)，AD→＝(－1,1，－3)，AA1→＝(0,2,0)．设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)．由n⊥平面A1AD，得n⊥AD→，n⊥AA1→，所以n·AD→＝－x＋y－3z＝0，n·AA1→＝2y＝0，12分令z＝1，得n＝(－3，0,1)．因此，n＝(－3，0,1)为所求的一个法向量.14分【名师点评】待定系数法是求平面法向量的一种最基本的方法，由于两个三元一次方程组成的方程组的解不惟一，因此确定的平面的法向量不是惟一的，为了方便起见，这里取z＝1.在某些几何图形中，若能得到平面的垂线，则法向量就易从图形中找到．自我挑战2如图所示，正方体AC1的棱长为1，试写出下列平面的一个法向量．(1)平面ABCD；(2)平面ADD1A1；(3)平面ABC1D1；(4)平面A1BC1.解：(1) DD1⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为DD1→＝(0,0,1)．(2) DC⊥平面ADD1A1，∴平面ADD1A1的一个法向量为DC→＝(0,1,0)．(3) A1D⊥AD1，A1D⊥AB，∴A1D⊥平面ABC1D1，∴平面ABC1D1的一个法向量为DA1→＝(1,0,1)．(4) A1C1⊥平面BB1D1D，∴A1C1⊥DB1.同理A1B⊥DB1.∴DB1⊥平面A1BC1.∴平面A1BC1的一个法向量为DB1→＝(1,1,1)．1．空间直线的方...
