6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理第六章平面向量初步学习目标1.理解共线向量基本定理及其应用.2.了解平面向量基本定理及其含义.重点：1.共线向量基本定理；2.平面向量基本定理.难点：平面向量基本定理的应用.知识梳理一、共线向量基本定理如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得.b＝λaλ＝μ在共线向量基本定理中：（1）b＝λa时，通常称为b能用a表示.（2）其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有.由λa＝μa可知（λ-μ）a＝0，如果λ-μ≠0，则a＝0，与已知矛盾，所以λ-μ＝0，即λ＝μ.如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝.二、平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得.c＝xa+yb如果c＝xa+yb＝ua+vb，那么x＝u且y＝v.当a与b不共线时，xa+yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0.平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c＝xa+yb，则称xa+yb为c在基底{a，b}下的分解式.例1一共线向量基本定理<1>判定向量共线常考题型判断下列各小题中的向量a，b是否共线（其中e1，e2不共线）.（1）a＝5e1，b＝-10e1；（2）a＝e1-e2，b＝3e1-2e2；（3）a＝e1+e2，b＝3e1-3e2.【解题提示】关键看向量a，b是否存在倍数关系.【解】（1）因为b＝-2a，所以a与b共线；（2）因为a＝b，所以a与b共线；（3）假设存在实数λ使a＝λb，则e1+e2＝λ（3e1-3e2），所以（1-3λ）e1+（1+3λ）e2＝0.因为e1与e2不共线，所以1-3λ＝0，1+3λ＝0.这样的λ不存在，因此a与b不共线.判定向量共线的方法分别将要判断的向量表示出来，并观察能否找到实数λ，使b＝λa，若能找到，则a，b共线，若不能找到，则a，b不共线.解题归纳［2019·山东日照高一检测］下列各组向量：①a＝2e1，b＝-2e1；②a＝e1-e2，b＝-2e1+2e2；③a＝4e1-e2，b＝e1-e2；④a＝e1+e2，b＝2e1-2e2.若e1，e2不共线，则其中a，b共线的有（填序号）.1.①②③变式训练［2019·江苏宿迁高一检测］下列命题中正确的是（填序号）.①-5（6a）＝-30a；②7（a+b）+6b＝7a+13b；③若a＝m-n，b＝3（m-n），则a，b共线；④若（a-5b）+（a+5b）＝2a，则a，b共线.2.变式训练①②③例2<2>利用基本定理求参数［2019·湖北省黄梅一中高一检测］已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma-3b与a+（2-m）b共线，则实数m的值为.【解题提示】利用共线向量的性质列出方程（组），由此求出m的值.【解析】因为向量ma-3b与a+（2-m）b共线，所以ma-3b＝λ［a+（2-m）b］解得m＝-1或m＝3.【答案】-1或3利用基本定理求参数的方法若向量a，b（a≠0）共线，则由基本定理可得，存在一个实数λ，使得向量b能用非零向量a来表示，即若b与a（a≠0）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa，再利用对应系数相等这一条件，列出方程组，从而求解.解题归纳已知e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1+me2与b＝-3e1-e2共线，则m＝.（2）已知e1和e2不共线，a＝λe1+e2，b＝4e1+2e2，并且a，b共线，则λ的值是.2变式训练1.13［2019·江苏海安高一检测］在△ABC中，点P是AB上一点，且＝+，又＝，则t的值为.（2）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，若＝+，则m，n的值分别为.,2.13<3>利用共线向量基本定理解决几何问题例3（1）已知两个非零向量a与b不共线，如果＝a+b，＝2a+8b，＝2a-4b，求证：A，B，D三点共线.（2）已知a，b是两个不共线向量，且a与b起点相同，问：实数t为何值时，a，tb，（a+b）三向量的终点在同一直线上？【解题提示】由A，B，D三点构成的向量中有两个向量共线证明A，B，D三点共线.（1）【证明】因为＝+＝（2a+8b）+（2a-4b）＝4a+4b＝4（a+b）＝4，所以根据共线向量基本定理，与共线.又因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线.【解题提示】三向量终点在同一直线上，即a-tb与a-（a+b）共线.（2）【解】由题设易知，若三向量终点在同一直线上，则存在唯一实数λ，使a-tb＝λ[a-（a+b）]，化简，得a＝b. a与b不共线，∴解得故当t＝时，三向量的终点在同一直线上.三点共线的线性表...
