选修4－1几何证明选讲选修4－1几何证明选讲考点串串讲1．平行截割定理常用结论(1)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．(2)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(3)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(4)平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用．2．相似三角形(1)相似三角形的判定与性质①相似三角形的判定定理：(ⅰ)对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简述为：两角对应相等，两三角形相似)；(ⅱ)对于任意两个三角形，如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)；(ⅲ)对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简述为：三边对应成比例，两三角形相似)．②相似三角形的性质定理：(ⅰ)相似三角形的对应角相等；(ⅱ)相似三角形的对应边成比例；(ⅲ)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(ⅳ)相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比；(ⅴ)相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方．(2)对于相似三角形需注意以下几点①相似三角形的传递性：如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽△A2B2C2.②平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．③直角三角形相似的判定定理：(ⅰ)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．(ⅱ)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．3．圆的有关性质结论(1)圆内接四边形的性质定理与判定定理．(2)圆的内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(3)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(4)如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(5)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(6)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(7)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(8)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(9)圆弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(10)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(11)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(12)圆的切线①直线与圆的位置关系当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆只有1个公共点时，直线与圆相切，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．②切点与圆心的连线与圆的切线垂直，同时经过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心．(13)弦切角定理①弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．4．几何证明中的思想方法(1)分类思想方法所谓分类思想方法就是依据一定的标准，按照既不重复也不遗漏的原则，将所要研究的对象划分为若干类别，然后通过对每一类别的研究达到对事物整体研究的目的．例如，按角的关系分类，可以将三角形分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形，每种类型的三角形有自身的一些特性，如果不作分类讨论，那么就很难找出这些特性．另一方面，对一些问题的讨论，必须通过分类才能举全各个方面，使得到的结论具有一般性．要结合圆周角定理、四点共圆判定定理和弦切角定理的证明，认真对分类思想方法加以体会．(2)运动变化思想运动变化思想具体体现为图形的运动变化．几何中的许多问题源于...
