高中数学 第3章32导数的计算课件 新人教A版选修1-1 课件VIP专享VIP免费

3．2导数的计算学习目标1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单初等函数的导数．课堂互动讲练知能优化训练3.2课前自主学案课前自主学案温故夯基求函数导数的一般步骤(1)求函数的增量Δy＝_______________；(2)求平均变化率ΔyΔx＝_____________；(3)取极限，得导数f′(x)＝___________.fx＋Δx－fxΔxlimΔx→0ΔyΔxf(x＋Δx)－f(x)知新益能1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝___f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝___________0nxn－1cosx－sinxaxlna(a＞0)原函数导函数f(x)＝exf′(x)＝____f(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝_______(a＞0且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝1x1xlnaex2.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝_______________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_______________________；(3)[fxgx]′＝____________________(g(x)≠0)．由(2)可得出：[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)．f′xgx－fxg′x[gx]2f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)计算过程：(sinπ4)′＝cosπ4＝22，正确吗？提示：不正确．问题探究课堂互动讲练求函数的导数考点突破解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．例例11【思路点拨】观察各函数的结构特征，利用导数公式，先变形，再求导．求下列函数的导数：(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝x·tanx；(5)y＝lgxx.【解】(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′＝5x4－9x2－10x.(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.法二： y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.(3)法一：y′＝(x－1x＋1)′＝x－1′x＋1－x－1x＋1′x＋12＝x＋1－x－1x＋12＝2x＋12.法二： y＝x－1x＋1＝x＋1－2x＋1＝1－2x＋1，∴y′＝(1－2x＋1)′＝(－2x＋1)′＝－2′x＋1－2x＋1′x＋12＝2x＋12.(4)y′＝(x·tanx)′＝(xsinxcosx)′＝xsinx′cosx－xsinxcosx′cos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x.(5)y′＝(lgxx)′＝lgx′x－lgx·x′x2＝1xln10·x－lgxx2＝1－ln10·lgxx2·ln10.变式训练求下列函数的导数：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝cosxx.解：(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋1xln3.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex.(3)y′＝(cosxx)′＝cosx′·x－cosx·x′x2＝－x·sinx－cosxx2＝－xsinx＋cosxx2.已知导数值求参数值由函数f(x)的导数值确定其参数值，要正确求解f(x)的导数，利用其他条件列出等式关系，再求解．若函数f(x)＝exx在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．例例22【思路点拨】由题意建立导数值与函数值互为相反数的关系式，即可求出c的值．【解】由于f(x)＝exx，∴f(c)＝ecc，又f′(x)＝ex·x－exx2＝exx－1x2，∴f′(c)＝ecc－1c2.依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴ecc＋ecc－1c2＝0，∴2c－1＝0得c＝12.利用导数的几何意义解决切线问题的关键是判断已知点是否是切点．若已知点是切点，则该点处的切线斜率就是该点处的导数；如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．曲线的切线方程例例33【思路点拨】题中涉及三个未知量，已知三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．【解】因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.由a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，...