掌握比较法、综合法证明简单的不等式/掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用第27课时不等式的证明（一）•1．常用的重要的不等式•(1)a、b∈R，则a2＋b2≥2ab；•(2)(a，b∈R)；•(3)(a＋b)2≥(a、b∈R)；•(4)若ab>0，则≥2.4ab•2．均值不等式：若a>0，b>0，则.•3．最值定理：设x>0，y>0，由x＋y≥2•(1)若积xy＝P(定值)，则和x＋y有值2；•(2)若和x＋y＝S(定值)，则积xy有值.最小最大•1．制作一个面积为2m2，形状为直角三角形的钢框架，有下列四种长度的•钢管可供选用，则最合适(既够用，又剩余最少)的长度为()•A．7.2mB．7mC．6.8mD．6.6m•解析：本题考查均值不等式以及实际应用能力．设直角三角形的两直角边长分别为a、b，则斜边为，面积S＝ab＝2，得ab＝4，三角形的周长l＝a＋b＋≈6.828，故选B.•答案：B•2．给出下列四个不等式，其中正确不等式的个数是()•①x2＋3＞2x(x∈R)•②a5＋b5≥a3b2＋a2b3(a，b∈R)•③a2＋b2≥2(a－b－1)(a，b∈R)•④(m＞0)•A．1B．2C．3D．4•解析：其中不等式①③一定成立．•答案：B•3.设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是()•A．(a＋b)()≥4B．a3＋b3≥2ab2•C．a2＋b2＋2≥2a＋2bD.•解法二：取a＝，b＝，则a3＋b3＜2ab2.故选B项．•答案：B•4．已知a＞b＞0，则a2＋的最小值是________．•答案：16•根据实数大小与运算之间的关系，可采用比较法证明不等式，最为常见的比较法的步骤是：作差―→变形―→判断符号，其关键在于变形，对整式可考虑分解因式或配方；对分式可采用通分合并，分子分母同除等手段；对根式可利用根式的有理化进行变形，变形要准确到位．•【例1】(1)求证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；•(2)已知a＞0，b＞0，求证≥a＋b；•(3)已知a＞0，b＞0，c＞0，求证a3＋b3＋c3≥3abc.•证明：(1)证法一：a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝[(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋c2)＋(c2－2ca＋a2)]＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0.∴a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)≥0，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.•证法二：∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝a2－(b＋c)a＋b2＋c2－bc•＝(a－)2＋(b－c)2≥0，•∴a2＋b2＋c2≥(ab＋bc＋ca)．•证法二：∵a＞0，b＞0，∴＋a≥2b①•同理＋b≥2a②•由不等式的性质可知，将①＋②得：＋(a＋b)≥2(a＋b)，•即≥a＋b.•(3)证法一：a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b)3＋c3－3a2b－3ab2－3abc•＝(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c)•＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)•＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]．•∵a＞0，b＞0，c＞0，则a3＋b3＋c3－3abc≥0，•即a3＋b3＋c3≥3abc.•综合法证明不等式即利用基本不等式和不等式性质证明不等式的方法，•只要求两个字母的基本不等式，可根据a2＋b2≥2ab，a2＋b2≥，•(a＋b)2≥4ab，(a＞0，b＞0)运算结构特征，系数和等号成立的•条件等因素选用基本不等式．•【例2】已知a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，求证：•变式2.若a＞0，b＞0，c＞0，试证：•可利用基本不等式求代数式(包括函数)的最值，比如对于均值不等式a＞0，•b＞0，，(1)当ab＝P(P为定值)时，则a＋b有最小值；(2)当a＋b＝S•(S为定值)时，则ab有最大值．采用均值不等式求最值大致过程可概括为：•一正，二定，三等．•解析：(2a＋b＋c)2＝4a2＋b2＋c2＋4ab＋2bc＋4ca≥4(a2＋ab＋ac＋bc)＝•4(4－2)，又a、b、c>0，∴2a＋b＋c≥2(－1)当且仅当b＝c时取等号．•答案：D•变式3.已知(a2＋b2＋c2)c2＋a2b2＝4，则ab＋c2的最大值为()•A．1B．2C．3D．4•解析：考查均值不等式求最值．•4＝(a2＋b2＋c2)·c2＋a2b2≥(2ab＋c2)·c2＋a2b2＝c4＋2abc2＋a2b2＝(c2＋ab)2，•∴c2＋ab≤2，当且仅当a＝b时取等号．•答案：B•【方法规律】•用比较法证明不等式重在培养比较的意识；用综合法证明不等式要掌握证明的技巧，根据重要不等式a2＋b2≥2ab及变形的运算结构、次数和系数等特征，适当选取进行论证.•(本题满分12分)如图，设矩形ABCD(AB＞AD)的周长为24，把它关于AC折起来，AB折后交DC于点P，求△ADP的最大面积.•【考卷实录】•【答题模板】•解答：设AD＝a，DP＝b，则AP＝，•由已知条件a＞0，b＞0，且a＋b＋＝12.又a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，•【分析点评】•本题是根据教材题目改编，利用两个变量表示三角形的面积为求最值提供了更广阔的空间，利用基本不等式比利用函数求最值更简明快捷.
