本题主要考查线面垂直的应用，关键是将PQ⊥QD转化为DQ⊥AQ即可，但AD=BC=a是变化的．所以需对a进行讨论．解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.假设BC边上存在一点Q，使得QD⊥AQ，则就有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥PQ.在矩形ABCD中，当AD=a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使AQ⊥DQ.∴当a≥2时，才存在点Q，使得AQ⊥QD，从而有PQ⊥QD.点评本题运用平面几何知识，借助以AD为直径的圆与BC交点的个数来推断点Q的存在性．【例2】四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD,PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．分析本题综合考查线面平行和垂直的判定等知识，关键是正确合理运用条件中的数量关系和位置关系．取PD的中点E，可证四边形ABME是平行四边形，因此BM∥AE，(1)问可证；(2)问中的点N，可作MN⊥BE，交AE于点N，N即为所求．(1)证明取PD中点E，连接EM、AE，∴EM綊12CD，而AB綊12CD，∴EM綊AB.∴四边形ABME是平行四边形．∴BM∥AE.∵AE⊂平面ADP，BM⊄平面ADP，∴BM∥平面PAD.(2)解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.而AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD.∵PA=AD，E是PD的中点，∴PD⊥AE.∴PD⊥平面ABME.作MN⊥BE，交AE于点N.∴MN⊥平面PBD.易知△BME∽△MEN.而BM=AE=，EM=CD=1，221即点N为AE的中点．点评.22,2221)(,2ANBMEMENBMEMEMEN得由垂直关系的转化和平行关系的转化是立体几何的重点，一般来说，要证线面垂直(平行)，需证线线垂直(平行)，要证线线垂直(平行)，需证线面垂直(平行)．【例3】数学课上，张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥(如图所示)，然后他将其中的两根换成长度分别为和的塑料棒搭成了一个新的三棱锥，陈成同学边听课边动手操作，也将其中的两根换掉，但没有成功，不能搭成三棱锥．假设张老师与陈成同学都将BD换成了长为的塑料棒．(1)试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么，而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么？请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因；a2a2a3a3(2)在搭成的新三棱锥中，试证：平面ABD⊥平面CBD；(3)求新三棱锥的外接球的表面积．解析(1)张老师换掉的另一根塑料棒是CD(或AD、BC、BA)，而陈成同学换掉的另一根塑料棒是AC.根据题意作出如图所示的图形，其中图(1)表示陈成同学想搭成的三棱锥．取AC的中点E，连结BE、DE.因AB2+CB2=AC2=2a2，所以BE是Rt△ABC斜边上的中线，得BE=，同理，DE=，从而由BE+DE=BD，不能构成三角形，所以图(1)错误．a22a22aa32(2)如图(2)，不妨设张老师换掉的另一根塑料棒是CD，则CD=，取BD的中点F，连结AF、CF.因△ABD是等腰三角形，所以AF⊥BD.又△BCD是直角三角形，∠BCD=90°，所以CF=BF=DF.又AB=AC=AD，所以△ABF≌△ACF，从而AF⊥CF.又CF与BD确定平面BCD，所以AF⊥平面BCD.又AF⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面CBD.a2同理可证，当AD、BC或BA中的一条换成时，也有平面ABD⊥平面CBD.(3)由(2)可知：当CD=时，三棱锥的外接球的球心必在直线AF上．设球的半径为R，因为BF=，AB=a，所以AF=，由得R=a.同理，当AD、BC或BA中的一条等于时，也有R=a.所以新三棱锥的外接球的表面积为S=4πa2.a2a23a21,)21()23(222aRaRa2a2点评本题考查立体几何的有关知识，第(1)问就属于探究性问题，因棱CD、AD、BA、BC与棱BD都是相邻的，所以它们的地位是一样的，因此考虑陈成同学换掉的另一根塑料棒是AC，再证之；“面面垂直”的判断可转化为“线面垂直”的判断．返回
