高中数学 第一章123三角函数的诱导公式(二)精品课件 苏教版必修4 课件VIP免费

1．2任意角的三角函数1．2.3三角函数的诱导公式(二)学习目标1.借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式五、六；2．掌握六组诱导公式并灵活运用．课堂互动讲练课前自主学案知能优化训练课前自主学案温故夯基1．终边与角α的终边关于________对称的角可以表示为π＋α.2．终边与角α的终边关于_______对称的角可以表示为－α(或2π－α)．原点x轴3．终边与角α的终边关于________对称的角可以表示为π－α.4．终边与角α的终边关于________对称的角可以表示为π2－α.y轴y＝x知新益能1．公式五sin(π2－α)＝_________，cos(π2－α)＝sinα.2．公式六sin(π2＋α)＝cosα，cos(π2＋α)＝___________.cosα－sinα公式五、六有什么作用？提示：利用公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．问题探究课堂互动讲练利用诱导公式化简求值诱导公式五、六主要是把有关的角转化为对应的锐角三角函数，实现正、余弦间的转化．例例11(本题满分14分)已知cos(75°＋α)＝13，α是第三象限角，求cos(15°－α)＋sin(α－15°)的值．【思路点拨】探索75°＋α与15°－α、α－15°的关系，应用公式五、六化简．【规范解答】cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)，又α是第三象限角，所以sin(75°＋α)＜0.6分所以sin(75°＋α)＝－1－cos275°＋α＝－223.8分所以sin(α－15°)＝sin[－90°＋(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13.13分所以原式＝－1＋223.14分【名师点评】当两个角α与β有以下关系时：α＋β＝π2，α－β＝π2，都可以应用公式五、六转化，常见的有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．互动探究1本例条件不变，(1)求cos(α－15°)－sin(15°－α)的值；(2)求sin(165°＋α)的值．解：(1)cos(α－15°)－sin(15°－α)＝cos(15°－α)＋sin(α－15°)以下同例题．(2)sin(165°＋α)＝sin(90°＋75°＋α)＝cos(75°＋α)＝13.例例22已知f(α)＝cosπ2＋α·cos2π－2·sin－α＋3π2sin－π－α·sin3π2＋α.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．【思路点拨】利用诱导公式化简fα→求sinα→求fα【解】(1)原式＝－sinα·cos－α·[－sinπ2－α]sinπ＋α·sinπ2＋α＝sinα·cosα·cosα－sinα·cosα＝－cosα.(2) cos(α－3π2)＝－sinα，∴sinα＝－15，又α是第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－－152＝－265，∴f(α)＝－cosα＝265.【名师点评】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．利用诱导公式证明恒等式(1)证明题遵循“化繁为简”的原则．(2)证明条件等式，一般有两种方法：一是从被证等式一边推向另一边的适当的时候，将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称为推出法．不论使用哪种方法都要抓住目标，据果变形．例例33求证：cosπ－θcosθ[sin32π－θ－1]＋cos2π－θcosπ＋θsinπ2＋θ－sin3π2＋θ＝2sin2θ.【思路点拨】利用诱导公式，从左到右，化繁为简．【证明】左边＝－cosθcosθ－cosθ－1＋cosθ－cosθcosθ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝1－cosθ＋1＋cosθ1＋cosθ1－cosθ＝21－cos2θ＝2sin2θ＝右边．【名师点评】证明题可采取分析法、综合法等；可执果索因，也可执因求果；可从左到右，亦可从右到左，甚至“左右开弓”．当然，掌握诱导公式并熟练应用是解题的前提．自我挑战2求证：tanπ＋α·sin－2π－αcos2π－αsinα＋3π2·cosα＋3π2＝tanα.证明：左边＝tanα·sin－α·cos－αsin[2π－π2－α]·cos[2π－π2－α]＝tanα·－sinα·cosαsin[－π2－α]cos[－π2－α]＝－sin2α－sinπ2－αcosπ2－α＝－sin2α－cosα·sinα＝sinαcosα＝tanα...