2．1.5平面上两点间的距离学习目标1.掌握两点间的距离公式及其简单的应用；2．掌握中点坐标公式，并能用中点坐标公式解决一些简单的问题．课堂互动讲练知能优化训练2.1.5平面上两点间的距离课前自主学案课前自主学案温故夯基1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的条件为：_____________.2．三条直线能构成三角形的条件为：_____________________．A1B2≠A2B1两两相交且不共点知新益能1．平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝_________________，特别地，O(0,0)与P(x，y)的距离|OP|＝__________.x2－x12＋y2－y12x2＋y2思考感悟1．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22的形式？提示：可以．原因是x2－x12＋y2－y12＝x1－x22＋y1－y22，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．2．中点坐标公式对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点为：_________________．(x1＋x22，y1＋y22)思考感悟2．如何求点(x，y)关于(a，b)的对称点的坐标？点(x，y)关于x轴、y轴、原点、直线y＝x，直线y＝－x的对称点分别是什么？提示：设点(x，y)关于(a，b)的对称点为(x′，y′)，则x＋x′2＝ay＋y′2＝b，解得x′＝2a－xy′＝2b－y.∴对称点坐标为(2a－x,2b－y)．类似可求点(x，y)关于x轴、y轴、原点、直线y＝x,直线y＝－x的对称点分别为：(x，－y)，(－x，y),(－x，－y)，(y，x)，(－y，－x)．课堂互动讲练两点间距离公式的应用考点突破这类问题主要考查利用两点间距离公式求线段的长度，使用公式时，应注意横、纵坐标的顺序要一致．例例11【思路点拨】可先在直角坐标系中画出△ABC，估计其形状，以寻找解题的方向，然后去验证．本题满分14分)已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试判断△ABC的形状．【规范解答】法一： AB＝3＋32＋－3－12＝52，AC＝1＋32＋7－12＝52，又BC＝1－32＋7＋32＝104，8分∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，12分∴△ABC是等腰直角三角形.14分法二： kAC＝7－11－－3＝32，kAB＝－3－13－－3＝－23，则kAC·kAB＝－1.∴AC⊥AB.6分又AC＝1＋32＋7－12＝52，AB＝3＋32＋－3－12＝52，14分∴AC＝AB.∴△ABC是等腰直角三角形．【名师点评】(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)在分析三角形的形状时,要从两个方面来考虑，一是考虑角的特征，如本例的法二，主要考查是否为直角或等角,在解析几何中一般借助于斜率，二是要考虑三角形边的长度特征，要用到勾股定理，如本例的法一．变式训练1试在直线x－y＋4＝0上求一点P，使点P到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等．解：法一：由直线x－y＋4＝0得y＝x＋4，因为点P在该直线上，所以可设P点的坐标为(a，a＋4)．因为PM＝PN，所以[a－－2]2＋[a＋4－－4]2＝a－42＋a＋4－62，即a＋22＋a＋82＝a－42＋a－22，所以(a＋2)2＋(a＋8)2＝(a－4)2＋(a－2)2，解得a＝－32，从而a＋4＝－32＋4＝52，所以点P的坐标为(－32，52)．法二：因为PM＝PN，所以点P在线段MN的垂直平分线上．因为kMN＝6－－44－－2＝106＝53，所以线段MN的垂直平分线的斜率k＝－35.又MN的中点为(1,1)，所以线段MN的垂直平分线的方程为y－1＝－35(x－1)，即y＝－35x＋85.又因为点P在直线x－y＋4＝0上，所以点P为直线x－y＋4＝0与y＝－35x＋85的交点．由x－y＋4＝0y＝－35x＋85，得x＝－32，y＝52.所以点P的坐标为(－32，52)．一条直线在两直线l1：3x＋y－2＝0与l2：x＋5y＋10＝0间的线段被点P(2，－3)平分，求这条直线l的方程．线段中点坐标公式的应用中点坐标公式的应用与数形结合法相联系，是解题的好途径．例例22【思路点拨】可由P(2，－3)设出l的点斜式方程(要考虑斜率不存在的情况)，也可先设出直线l与l1，l2的交点坐标，然后利用中点坐标公式求解．【解】法一：当所求直线的斜率不存在时，方程应为x＝2.由x＝2，3x＋y－2...
