高中数学 2.5 等比数列的前n项和 第1课时课件 新人教A版必修5 课件VIP免费

§2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和1．前n项和公式的导出证明：设等比数列a1，a2，a3…，，an…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2…＋＋an.由等比数列的通项公式可将Sn写成Sn＝a1＋a1q＋a1q2…＋＋a1qn－1.①①式两边同乘以q得qSn＝.②a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1时，Sn＝a11－qn1－q. an＝a1qn－1，∴上式可化为Sn＝.当q＝1时，Sn＝na1.2．注意问题(1)上述证明为错位相减法，在今后的解题中经常用，要用心体会．(2)公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论．(3)当已知a1，q，n时，用公式Sn＝a11－qn1－q，当已知a1，q，an时，用公式Sn＝a1－anq1－q.(4)在解决等比数列问题时，如已知a1，an，n，q，Sn中的任意三个，可由通项公式或前n项和公式求解其余两个．3．等比数列前n项和的一般形式一般地，如果a1，q是确定的，那么Sn＝a11－qn1－q＝a11－q－a11－qqn，设A＝a11－q，则上式可写为Sn＝(q≠1)．A－Aqn1．数列{2n－1}的前99项和为()A．2100－1B．1－2100C．299－1D．1－299解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×1－2991－2＝299－1.答案：C2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为()A．4B．5C．6D．7解析：an＝a1·qn－1＝96＝3·qn－1，∴qn－1＝32，Sn＝a1－anq1－q＝3－96q1－q＝189，1－32q1－q＝63.解得q＝2.∴n＝6.答案：C3．已知等比数列{an}中，an>0，n＝1,2,3…，，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为________．解析：易求得q＝2，a1＝1.∴S5＝1－251－2＝31.答案：314．求Sn＝x＋2x2＋3x3…＋＋nxn(x≠0)．解：当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12；当x≠1时，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x1－xn1－x－nxn＋1，∴Sn＝x1－x2[nxn＋1－(n＋1)xn＋1]，∴Sn＝nn＋12x＝1，x1－x2[nxn＋1－n＋1xn＋1]x≠1.[例1]已知数列{an}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5.[分析]先由a1＋a3＝10与a4＋a6＝54，求出a1与q，代入Sn公式求S5.[解]设等比数列的公比为q，则有a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54.解得a11＋q2＝10，①a1q31＋q2＝54.②由于q≠0,1＋q2≠0，②①得q3＝18.∴q＝12.∴a1＝8，a4＝a1q3＝8×(12)3＝1，S5＝8×[1－125]1－12＝312.[点评]在等比数列求和公式Sn＝a11－qn1－q中，只要能求出a与q即可．迁移变式1求等比数列1，13，19，…的前6项和．解： a1＝1，q＝13，n＝6.∴S6＝1×[1－136]1－13＝32×[1－(13)6]＝364243.[分析]由题目可获取以下主要信息：已知等比数列的前3项和前6项的和，求其通项．解答本题可直接利用前n项和公式，列方程求解．[例2]在等比数列{an}中，S3＝72，S6＝632，求an.[解]由已知S6≠2S3，则q≠1，又S3＝72，S6＝632，即a11－q31－q＝72①a11－q61－q＝632②②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.将q＝2代入①可求得a1＝12，因此an＝a1qn－1＝2n－2.[点评]在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解．迁移变式2设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求公比q的值．解：若q＝1，则S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1≠2S9.∴q≠1，由已知可得：a11－q31－q＋a11－q61－q＝2a11－q91－q.∴q3(2q6－q3－1)＝0. q≠0，∴2q6－q3－1＝0，∴(q3－1)(2q3＋1)＝0. q≠1，∴q3＝－12，∴q＝－312.[例3]求和Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan.[分析]{1an}成等比数列，其系数构成的数列{n}成等差数列，故可用错位相减法求前n项和．[解]分a＝1和a≠1两种情况．当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12；当a≠1时，Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan，上式两边同乘以1a，得1aSn＝1a2＋2a3＋…＋n－1an＋nan＋1，两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋1a2＋…＋1an－nan＋1，即Sn＝aan－1－na－1ana－12，综上所述，得Sn＝nn＋12，a＝1，aan－1－na－1ana－12，a≠1.[点...