一．填空（1553分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0lmR，则差分方程的解lmU趋近于微分方程的解lmu.此结论_______（错或对）；2．一阶Sobolev空间)(,,),()(21LfffyxfHyx关于内积1),(gf_____________________是Hilbert空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用_______系数法讨论差分格式的_______稳定性；4．写出3xy在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________，________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的.此结论_______（错或对）。二．（13分）设有椭圆型方程边值问题xunuuyuuyxyxyuxuyyxx2,1122.00,3.002.003.002222用1.0h作正方形网格剖分。（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化；（2）用截断误差为)(2hO的差分法将第三边界条件离散化；（3）整理后的差分方程组为DCBAUUUU三．（12）给定初值问题xutu，10,xxu取时间步长1.0，空间步长2.0h。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）,并以此格式求出解函数),(txu在2.0,2.0tx处的近似值。BDAC1．所选用的差分格式是：2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程haharuuruuklklklkl11,1111逼近微分方程0xuatu的截断误差阶R。思路一：将r带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。五．（12分）对抛物型方程22xutu，考虑DuFort-Frankel格式))((121111211klklklklklklUUUUhUU试论证该格式是否总满足稳定性的Von-Neumann条件？六．（12分）（1）由Green第一公式推导Green第二公式：dsnvunuvvdxdyuvdxdyuGG])([)(2（2）对双调和方程边值问题0,),(][),(,),(),(),(2121212yxnuuyxgnuyxguGyxyxfu，G21选择函数集合（空间）为：推导相应的双线性泛函和线性泛函：),(vuA)(vF相应的虚功问题为：极小位能问题为七．（12分）设有常微分方程边值问题1,1,)(byaybxaxfyy将区间],[ba作剖分：bxxxxan2101．若要求节点基函数为分段三次多项式且有一阶连续导数，试写出基函数所应满足的插值条件：2．画出基函数在],[ba上的图形：3．将有限元解*hy用基函数的形式表示出来：八．（12分）设有常微分方程边值问题1)1(,0)0(10,2yyxxyy1.转化为相应的变分问题选择函数集合（空间）为：推导相应的双线性性泛函和线性泛函：),(zyA)(zF2.将[1,0]二等分，采用线性元的有限元方法，导出有限元方程并求解。参考解答二．（1）1.0)4(10)4(12031210012CDAABcUUUUUhUUUUUh即801.148.14DCACBAuuuuuu（2）52.02.42599.02.42DCBDBAUUUUUU或08.12.3404.12.34DCBAUUUU（3）52.0599.0801.18.12.4210102.4214010114DCBAuuuu或08.104.1801.18.12.3400002.3414010114DCBAuuuu2238108.14104.121801.1hhhh三．1.125.05.025.0)1(2)1())1(01000101200012101121UUUururrurruuru四．Box格式，二阶五．练习题。总满足。六．1．在Green第一公式GGyyxxvdsnudvuvuvdu中①将vu与位置对换，并进一步换uu②在原Green公式中换uu2．取2122121,,gnuguHuuHF0,0,121220nuuHuuH20Hv,由Green第二公式有vfvu,,2GGdsnvvdfdsnvnudvu2GdsnvnudvuvuA2),(，)(vFGdsnvvdf虚工问题：求2FHu，使20,HvvFvuA极小位能：求2FHu，使uIuFuuAuIFHu2min,21七．1．1,,2,1,0,,0,1)(niijijAji1,,1,0,0)(niAjiniAji,,2,1,0)()1(niijijdxdjAi,,2,1,,0,1)1(2．niiiniiihxmxyxy0)1(0**)()()(niiinniiixmxxxy1)1()1(010*)()()()(八．1.取010,,11,00,11011yyHyyHyyHyyHE,10H作内积,,2xyy，分部积分10210dxxdxyyFyA,虚工问题：求1EHy，使10,HFyA极小位能：求1EHy，使yIyFyyAyIEHy1min,212.构造分段线性的结点基函数,1并补充20,则21*120*)(yxyyiii,15.0125.00015.0225.00221xxxxxxx，有限元方程为：),()(),(211*111AFyA*1133y25192+231311264，*10.47236y（理论解为：122()()21xxyxeexe，(0.5)0.47636y）
