2．2.2等差数列的通项公式•课标要求：1.掌握并熟练应用等差数列的通项公式；•2．掌握等差数列的性质并能灵活应用．•重点难点：本节重点：等差数列的性质的应用；•本节难点：等差数列的通项公式的推导过程的理解和掌握．课标定位基础知识梳理1．等差数列的通项公式(1)通项公式为an＝____________.等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，可变形为an＝nd＋(a1－d)．从函数角度来认识等差数列的通项公式：①当d≠0时，an是关于n的一次函数的一系列孤立的函数值；②当d＝0时，an是关于n的常数函数的一系列孤立的函数值．a1＋(n－1)d从图象角度看，an的图象是一条直线上孤立的点，且斜率k＝d＝an－a1n－1＝an－amn－m.说明：不能说等差数列或它的通项公式是一次函数，一次函数是有严格定义的，它的定义域是实数集R，图象是(连续的)一条直线．•(2)通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d.•(3)通项公式的应用：•①可以由首项和公差求出等差数列中的任意一项；•②已知等差数列的任意两项，就可以确定等差数列中的任意一项．•2．等差数列的四个常用性质•(1)单调性：d＞0时为递增数列，d＜0时为递减数列，d＝0时为常数列；•(2)若m＋n＝p＋q，则______________(m，n，p，qN∈*)．特别地，当m＋n＝2p时，有___________；am＋an＝2apam＋an＝ap＋aq(3)an－am＝(n－m)d(m，n∈N*)，即an－amn－m＝d(m≠n)；(4)数列{an＋k}，{kan}(k为常数)仍为等差数列，公差分别为d，kd.数列an，an＋m，an＋2m，…仍为等差数列，公差为______(m∈N*)．md课堂互动讲练题型一题型一等差数列的通项公式1．从函数知识的角度考查等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝d·n＋a1－d，当d≠0时，an是关于n的一次式(nN∈*)．所以等差数列的通项公式也可以表示为an＝pn＋q(设p＝d，q＝a1－d)．•2．从图象上看，表示这个数列的各点(n，an)均匀排列在一次函数y＝px＋q的图象上，其首项为p＋q，公差是p.由两个点确定一条直线，不难得出，任意两项可以确定一个等差数列．•3．等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数．•已知{an}为等差数列，分别根据下列条件求出它的通项公式．•(1)a3＝5，a7＝13；•(2)前三项为：a,2a－1,3－a.•【分析】欲求出等差数列的通项公式，只需确定它的首项a1与公差d，代入an＝a1＋(n－1)d即得．例例11【解】(1)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a3＝a1＋2d＝5，a7＝a1＋6d＝13.解之得a1＝1，d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.∴通项公式是an＝2n－1.法二： d＝a7－a37－3＝13－57－3＝2，∴an＝a3＋(n－3)d＝5＋(n－3)×2＝2n－1.∴通项公式是an＝2n－1.(2) a,2a－1,3－a是等差数列的前三项，且a2－a1＝a3－a2＝d，∴(2a－1)－a＝(3－a)－(2a－1)．解之得a＝54，∴d＝(2a－1)－a＝a－1＝14.∴an＝a1＋(n－1)d＝54＋(n－1)×14＝14n＋1.∴通项公式为an＝14n＋1.【点评】本题解法突出了等差数列的两个基本量a1、d，回归到a1、d是解决有关等差数列问题的常用方法．由等差数列的通项公式可证明：an－am＝(n－m)d(n，m∈N*，n≠m)，或d＝an－amn－m，当m＝1时，即为an＝a1＋(n－1)d.•1．等差数列{an}中，已知a59＝70，a80＝112，求a101.变式训练变式训练解：法一：设首项为a1，公差为d，则由题意得：a1＋58d＝70，a1＋79d＝112.解得a1＝－46，d＝2.∴a101＝a1＋100d＝－46＋100×2＝154.法二：设公差为d，则a80＝a59＋(80－59)d＝a59＋21d，即112＝70＋21d，∴d＝2.∴a101＝a80＋(101－80)d＝112＋21×2＝154.法三： an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，是关于n的一次函数，其图象是直线上的点．∴点(59，a59)，(80，a80)，(101，a101)共线，∴a80－a5980－59＝a101－a80101－80，即112－7021＝a101－11221，∴a101＝154.•已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9.•【分析】由题目可获取以下主要信息：•①2＋10＝3＋9＝2×6；•②a2＋a10＝a3＋a9＝2a6.•解答本题既可以用等差数列的性质，也可以用等差数列的通项公式．题型二题型二等...
