2.2.2等差数列的通项公式•课标要求:1.掌握并熟练应用等差数列的通项公式;•2.掌握等差数列的性质并能灵活应用.•重点难点:本节重点:等差数列的性质的应用;•本节难点:等差数列的通项公式的推导过程的理解和掌握.课标定位基础知识梳理1.等差数列的通项公式(1)通项公式为an=____________.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可变形为an=nd+(a1-d).从函数角度来认识等差数列的通项公式:①当d≠0时,an是关于n的一次函数的一系列孤立的函数值;②当d=0时,an是关于n的常数函数的一系列孤立的函数值.a1+(n-1)d从图象角度看,an的图象是一条直线上孤立的点,且斜率k=d=an-a1n-1=an-amn-m.说明:不能说等差数列或它的通项公式是一次函数,一次函数是有严格定义的,它的定义域是实数集R,图象是(连续的)一条直线.•(2)通项公式可以推广为an=am+(n-m)d.•(3)通项公式的应用:•①可以由首项和公差求出等差数列中的任意一项;•②已知等差数列的任意两项,就可以确定等差数列中的任意一项.•2.等差数列的四个常用性质•(1)单调性:d>0时为递增数列,d<0时为递减数列,d=0时为常数列;•(2)若m+n=p+q,则______________(m,n,p,qN∈*).特别地,当m+n=2p时,有___________;am+an=2apam+an=ap+aq(3)an-am=(n-m)d(m,n∈N*),即an-amn-m=d(m≠n);(4)数列{an+k},{kan}(k为常数)仍为等差数列,公差分别为d,kd.数列an,an+m,an+2m,…仍为等差数列,公差为______(m∈N*).md课堂互动讲练题型一题型一等差数列的通项公式1.从函数知识的角度考查等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d=d·n+a1-d,当d≠0时,an是关于n的一次式(nN∈*).所以等差数列的通项公式也可以表示为an=pn+q(设p=d,q=a1-d).•2.从图象上看,表示这个数列的各点(n,an)均匀排列在一次函数y=px+q的图象上,其首项为p+q,公差是p.由两个点确定一条直线,不难得出,任意两项可以确定一个等差数列.•3.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个变数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,就可以由通项公式求出第四个数.•已知{an}为等差数列,分别根据下列条件求出它的通项公式.•(1)a3=5,a7=13;•(2)前三项为:a,2a-1,3-a.•【分析】欲求出等差数列的通项公式,只需确定它的首项a1与公差d,代入an=a1+(n-1)d即得.例例11【解】(1)法一:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d=5,a7=a1+6d=13.解之得a1=1,d=2.∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.∴通项公式是an=2n-1.法二: d=a7-a37-3=13-57-3=2,∴an=a3+(n-3)d=5+(n-3)×2=2n-1.∴通项公式是an=2n-1.(2) a,2a-1,3-a是等差数列的前三项,且a2-a1=a3-a2=d,∴(2a-1)-a=(3-a)-(2a-1).解之得a=54,∴d=(2a-1)-a=a-1=14.∴an=a1+(n-1)d=54+(n-1)×14=14n+1.∴通项公式为an=14n+1.【点评】本题解法突出了等差数列的两个基本量a1、d,回归到a1、d是解决有关等差数列问题的常用方法.由等差数列的通项公式可证明:an-am=(n-m)d(n,m∈N*,n≠m),或d=an-amn-m,当m=1时,即为an=a1+(n-1)d.•1.等差数列{an}中,已知a59=70,a80=112,求a101.变式训练变式训练解:法一:设首项为a1,公差为d,则由题意得:a1+58d=70,a1+79d=112.解得a1=-46,d=2.∴a101=a1+100d=-46+100×2=154.法二:设公差为d,则a80=a59+(80-59)d=a59+21d,即112=70+21d,∴d=2.∴a101=a80+(101-80)d=112+21×2=154.法三: an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,是关于n的一次函数,其图象是直线上的点.∴点(59,a59),(80,a80),(101,a101)共线,∴a80-a5980-59=a101-a80101-80,即112-7021=a101-11221,∴a101=154.•已知等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a3+a9.•【分析】由题目可获取以下主要信息:•①2+10=3+9=2×6;•②a2+a10=a3+a9=2a6.•解答本题既可以用等差数列的性质,也可以用等差数列的通项公式.题型二题型二等...