第3讲等比数列及其前n项和知识梳理1．等比数列的定义及通项公式(1)等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝(n∈N*)．同一个常数q(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝(ab>0)．在等比数列中，从第二项起每一项(有穷数列最后一项除外)都是它前一项与后一项的等比中项，即a2n＝(n∈N*且n≥2)．(3)等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a1，公比为q，则an＝，若已知第m项am和公比q，则an＝.(4)等比数列的公比公式：qn－1＝ana1或qn－m＝anam.an－1·an＋1±aba1qn－1amqn－m2．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.qn－mak·al＝am·an3．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝；当q≠1时，Sn＝＝a1－anq1－q.na1a11－qn1－q辨析感悟1．对等比数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(×)(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(×)(3)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为aq，a，aq.(√)2．通项公式与前n项和的关系(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.(×)(5)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝3－2an.(√)3．等比数列性质的活用(6)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(×)(7)(2014·兰州模拟改编)在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝25.(√)(8)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(×)[感悟·提升]1．一个区别等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值．如(1)中的“常数”，应为“同一非零常数”；(2)中，若b2＝ac，则不能推出a，b，c成等比数列，因为a，b，c为0时，不成立．2．两个防范一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当an＋1an＝q＜0时，lnan＋1－lnan＝lnq无意义；而(8)中当q＝－1时，S4＝0，所以S4，S8－S4，S12－S8不能构成等比数列.考点一等比数列的判定与证明【例1】(2013·济宁测试)设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3.求证：数列{bn}是等比数列，并求an.证明由Sn＝2an－3n对于任意的正整数都成立，得Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式相减，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n，所以an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，即bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2对一切正整数都成立，所以数列{bn}是等比数列．由已知得：S1＝2a1－3，即a1＝2a1－3，所以a1＝3，所以b1＝a1＋3＝6，即bn＝6·2n－1.故an＝6·2n－1－3＝3·2n－3.规律方法证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明anan－1＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a2n＝an－1·an＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练1】(2014·镇海中学模拟)已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．(1)证明假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22＝a1a3，即23λ－32＝λ49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，矛盾，所以{an}不是等比数列．(2)解因为bn＋1＝(－1)n＋1[an...
