2.3等比数列2.3.1等比数列学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及性质．2．能在具体情境中识别数列的等比关系，并用有关知识解决相应问题．第一课时课堂互动讲练知能优化训练第一课时课前自主学案课前自主学案温故夯基1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从______起，每一项与它的前一项的差都等于___________，这个数列就叫等差数列．2．等差中项：若a，b，c成等差数列，则b称为a与c的等差中项．第2项同一个常数知新益能1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比都等于____________，那么这个数列就叫做等比数列，_________叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．(2)符号语言：数列{an}中，若an＋1an＝q(常数)或anan－1＝q(n≥2)，则称{an}为等比数列．2同一个常数这个常数(3)必要条件：对于任意的n∈N＋，都有an≠0.(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列．(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列．(6)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列．当常数列各项不为0时，是等比数列．(7)证明一个数列为等比数列，其依据是an＋1an＝q(n∈N＋)，利用这种形式来判定，就便于操作了．(8)在现实生活及国民经济建设中，常出现增长率(降低率)、利率等问题，多与等比数列有联系，应用广泛．2．等比数列的通项公式an＝______，推广an＝________.几何解释：等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，还可以改写为an＝a1qqn，当q>0，且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，而y＝a1q·qn是一个不为0的常数与指数函数的积．因此等比数列{an}的图象是函数y＝a1q·qx的图象上一些孤立的点．a1qn－1am·qn－m思考感悟1．要确定一个等比数列的通项公式，需要知道几个独立条件？提示：需要知道首项和公比这两个独立条件.3．等比中项在任意两个非零实数a和b之间，也可以插入几个数使之成为等比数列．但要注意，在实数范围内，当____时，a，b之间可以插入任意个数,ab>0当_____时，在a和b之间能插入偶数个数使之成为等比数列．当ab>0时，在a和b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么，G就叫做a，b的等比中项．即Ga＝bG，∴G2＝___，G＝______.±abab<0ab4．如何判断或证明一个数列为等比数列常用的判断方法有：(1)定义法：即验证____________是否成立，但应注意必须从第2项起所有项都满足此等式．(2)中项公式法：即验证a2n＋1＝anan＋2是否成立．但应注意这里an≠0(n∈N＋)．(3)通项公式法：即验证___________是否成立，但注意这里的a1≠0且q≠0.an＋1an＝q(常数)an＝a1qn－1思考感悟2．任意两个实数a，b一定有等比中项吗？提示：只有两个非零实数同号时，才有等比中项．如果数列{an}的前n项和Sn满足对任意n∈N＋，都有Sn＝32an－3.求证：{an}是等比数列．课堂互动讲练等比数列的判定与证明例例11【分析】已知条件中给出了Sn和an的关系，应考虑用an＝Sn－Sn－1(n≥2)表示出来，再看符合的形式进行判断．【证明】当n＝1时，a1＝S1＝32a1－3，∴a1＝6.当n≥2时，Sn＝32an－3，则Sn－1＝32an－1－3，即an＝Sn－Sn－1＝32an－32an－1，∴12an＝32an－1，即anan－1＝3.∴数列{an}是首项为6，公比为3的等比数列．【点评】解此题的关键是利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)找出an与an－1的关系．利用等比数列的定义，等比中项的定义以及等比数列的通项公式均可判断或证明一个数列是等比数列．自我挑战1已知数列{an}的前n项和为Sn，又有数列{bn}，它们满足关系b1＝a1，对于n∈N＋，有an＋Sn＝n，bn＋1＝an＋1－an，求证{bn}是等比数列，并求其通项公式．证明：因为an＋Sn＝n，①所以an－1＋Sn－1＝n－1(n≥2)，②①－②得an－an－1＋an＝1，即an＝12(an－1＋1)(n≥2)．又bn＋1＝an＋1－an＝12(an＋1)－an＝12(1－an)，所以bn＋1bn＝121－an121－an－1＝1－12an－1＋11－an－1＝12(n≥2)...
