2．2.2等差数列的性质学习目标1.进一步巩固等差数列的概念和通项公式．2．掌握等差数列的性质．课堂互动讲练知能优化训练2.2.2等差数列的性质课前自主学案课前自主学案温故夯基1．数列{an}为等差数列_____________________________2．等差数列的通项公式an＝__________________3．A是a、b的等差中项⇔_____________⇔an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．a1＋(n－1)d，n∈N*.A＝a＋b2.1．等差数列的项与序号的关系知新盖能两项关系多项关系通项公式的推广：an＝am＋_________(m，n∈N*)项的运算性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则______＝ap＋aq(n－m)dam＋an思考感悟在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)成立吗？提示：不一定，若an＝3，则a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4.2．等差数列的性质(1)若{an}是公差为d的等差数列，则：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列；②{c·an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列．(2)若{an}、{bn}分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p、q是常数)是公差为_______的等差数列．dcdpd1＋qd2课堂互动讲练考点突破等差数列性质的应用等差数列的性质在数列问题的研究中经常用到，而且它具有很强的灵活性，常用的等差数列的性质如下：(1)等差数列{an}中，若公差d>0，则数列为递增数列；若d<0，则数列为递减数列；若d＝0，则数列为常数列．(2)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35(2)已知等差数列{an}，若a11＝－26，a51＝54，则a14＝________.例例11【思路点拨】利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题．(1)利用2a4＝a3＋a5，(2)利用an＝am＋(n－m)d.【解析】(1) a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.(2)在等差数列{an}中，根据an＝am＋(n－m)d，∴a51＝a11＋40d，∴d＝140(54＋26)＝2.∴a14＝a11＋3d＝－26＋3×2＝－20.【答案】(1)C(2)－20变式训练1(1)数列{an}中，a3、a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝________；(2)在等差数列{an}中，已知a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则a3＋a13＝________.解析：(1)由根与系数的关系知a3＋a10＝3，故a5＋a8＝a3＋a10＝3.(2)由a1＋a15＝a4＋a12，得a8＝－2，∴a3＋a13＝2a8＝－4.答案：(1)3(2)－4等差数列的设法及求解(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d；(2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d；(3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首、末两项的积为－8，求这四个数．【思路点拨】解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解．【解】(1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d，依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，例例22化简得d2＝16，于是d＝±4，故这三个数依次为－2,2,6或6,2，－2.(2)设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，∴d>0，∴d＝1，故所求的四个数依次为－2,0,2,4.等差数列的应用题某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？例例33【思路点拨】题意――→设每年获利构成等差数列{an}a1＝200，an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*―→an<0―→n>11―→n＝12【解】由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，….设从第1年起，第n年的利润为an，则an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{an}...
