第五节含绝对值的不等式知识自主·梳理最新考纲理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|高考热点1.以选择题的形式考查绝对值不等式,同时与不等式的性质相结合.2.以解答题的形式考查含绝对值不等式的证明,其中|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|起到放缩的作用.1.绝对值不等式的性质:(a∈R)(1)|a|≥0(当且仅当a=0时取“=”)(2)|a|≥±a;(3)-|a|≤a≤|a|;(4)|a2|=|a|2=a2;(5)|ab|=|a||b|,|ab|=|a||b|.2.两数和差的绝对值的性质|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|特别注意此式,它是和差的绝对值和绝对值的和差性质.应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件.|a+b|=|a|+|b|⇔;|a-b|=|a|+|b|⇔;|a|-|b|=|a+b|⇔;|a|-|b|=|a-b|⇔.ab≥0ab≤0(a+b)b≤0(a-b)b≥03.解含绝对值不等式的思路:化去绝对值符号,转化为不含绝对值的不等式.解法如下:(1)|f(x)|<a(a>0)⇔;(2)|f(x)|>a(a>0)⇔;(3)|f(x)|<g(x)⇔;(4)|f(x)|>g(x)⇔;(5)|f(x)|>|g(x)|⇔;(6)含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于形如|x-a|+|x-b|>m或|x-a|+|x-b|<m(m为正常数)的不等式,利用实数绝对值的几何意义求解较简便.-a<f(x)<af(x)<-a或f(x)>a-g(x)<f(x)<g(x)f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)[f(x)]2<[g(x)]21.解含多个绝对值的不等式时,若用分段讨论法去绝对值,要注意:(1)区间端点处的值不能遗漏;(2)在两个区间上解出结果应与本区间求交集;(3)各区间上的解集并起来,才得原不等式的解集.2.要重视绝对值的几何意义、数形结合,快速解出形如|x-a|+|x-b|<c等这类绝对值不等式的解集.3.注意存在性问题与恒成立问题的区别,不等式有解,不一定恒成立,但不等式恒成立,一定有解.4.在应用不等式的性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|解决问题时要注意等号成立的条件.方法规律·归纳例1解关于x的不等式|x2-3x-4|>x+2.[分析]本例去绝对值可用零点分区间讨论的方法,也可以利用公式法.题型一绝对值不等式的解法思维提示设法去掉绝对值符号[解]解法一:原不等式等价于x+2<0①或x+2≥0x2-3x-4>x+2或x2-3x-4<-(x+2)②①⇔x<-2.②⇔x≥-2x>2+10或x<2-10或1-3<x<1+3⇔-2≤x<2-10或x>2+10或1-3<x<1+3.综上,x∈(-∞,2-10)∪(1-3,1+3)∪(2+10,+∞).解法二:原不等式等价于x2-3x-4>x+2或x2-3x-4<-(x+2)⇔x2-4x-6>0或x2-2x-2<0⇔x∈(-∞,2-10)∪(2+10,+∞)∪(1-3,1+3).[规律总结]由于|f(x)|>a中,a为大于零的常数,而本题中x+2正负不确定,故讨论其正负,即得解法一;解法二是不管x+2的正负,直接利用公式|f(x)|>a⇔f(x)>a或f(x)<-a求解,结果是一样的.从理论上讲,解法一更合理些.备选例题1解不等式|x2-4|+|x+3|>5.或-3≤x<-2x2-4+(x+3)>5或-2≤x<2-(x2-4)+x+3>5或x≥2x2-4+x+3>5⇔x<-3或-1<x<2或x>2∴原不等式的解集为(-∞,-3)∪(-1,2)∪(2,+∞).题型二绝对值不等式性质的应用思维提示①不等式的基本性质;②绝对值不等式的性质.例2(1)若x<5,n∈N*,则下列不等式:①|xlgnn+1|<5|lgnn+1|;②|x|lgnn+1<5lgnn+1;③xlgnn+1<5|lgnn+1|;④|x|lgnn+1<5|lgnn+1|.能够成立的有________个.(2)不等式|a+b||a|-|b|≥1成立的充要条件是________.[分析](1)利用对数函数的性质和不等式的性质进行判断,用排除法解较简便.(2)可从绝对值不等式的性质|a+b|≥|a|-|b|出发,去寻找原不等式成立的充要条件.[解析](1) 0<nn+1<1,∴lgnn+1<0.由x<5,并不能确定|x|与5的关系,∴可以否定①,②,③.而|x|lgnn+1≤0,④成立.(2)当|a|>|b|时,有|a|-|b|>0,∴|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|,∴必有|a+b||a|-|b|≥1.即|a|>|b|是|a+b||a|-|b|≥1成立的充分条件,当|a+b||a|-|b|≥1时,由|a+b|>0,必有|a|-|b|>0,即|a|>|b|,故|a|>|b|是|a+b||a|-|b|≥1成立的必要条件,故所求为|a|>|b|.[答案](1)1(2)|a|>|b|[规律总结](1)放缩法是不等式证...