第五节含绝对值的不等式知识自主·梳理最新考纲理解不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|高考热点1.以选择题的形式考查绝对值不等式，同时与不等式的性质相结合．2．以解答题的形式考查含绝对值不等式的证明，其中|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|起到放缩的作用.1.绝对值不等式的性质：(a∈R)(1)|a|≥0(当且仅当a＝0时取“＝”)(2)|a|≥±a；(3)－|a|≤a≤|a|；(4)|a2|＝|a|2＝a2；(5)|ab|＝|a||b|，|ab|＝|a||b|.2．两数和差的绝对值的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|特别注意此式，它是和差的绝对值和绝对值的和差性质．应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件．|a＋b|＝|a|＋|b|⇔；|a－b|＝|a|＋|b|⇔；|a|－|b|＝|a＋b|⇔；|a|－|b|＝|a－b|⇔.ab≥0ab≤0(a＋b)b≤0(a－b)b≥03．解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式．解法如下：(1)|f(x)|＜a(a＞0)⇔；(2)|f(x)|＞a(a＞0)⇔；(3)|f(x)|＜g(x)⇔；(4)|f(x)|＞g(x)⇔；(5)|f(x)|＞|g(x)|⇔；(6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x－a|＋|x－b|＜m(m为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．－a＜f(x)＜af(x)＜－a或f(x)＞a－g(x)＜f(x)＜g(x)f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x)[f(x)]2＜[g(x)]21．解含多个绝对值的不等式时，若用分段讨论法去绝对值，要注意：(1)区间端点处的值不能遗漏；(2)在两个区间上解出结果应与本区间求交集；(3)各区间上的解集并起来，才得原不等式的解集．2．要重视绝对值的几何意义、数形结合，快速解出形如|x－a|＋|x－b|＜c等这类绝对值不等式的解集．3．注意存在性问题与恒成立问题的区别，不等式有解，不一定恒成立，但不等式恒成立，一定有解．4．在应用不等式的性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|解决问题时要注意等号成立的条件.方法规律·归纳例1解关于x的不等式|x2－3x－4|＞x＋2.[分析]本例去绝对值可用零点分区间讨论的方法，也可以利用公式法．题型一绝对值不等式的解法思维提示设法去掉绝对值符号[解]解法一：原不等式等价于x＋2＜0①或x＋2≥0x2－3x－4＞x＋2或x2－3x－4＜－(x＋2)②①⇔x＜－2.②⇔x≥－2x＞2＋10或x＜2－10或1－3＜x＜1＋3⇔－2≤x＜2－10或x＞2＋10或1－3＜x＜1＋3.综上，x∈(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．解法二：原不等式等价于x2－3x－4＞x＋2或x2－3x－4＜－(x＋2)⇔x2－4x－6＞0或x2－2x－2＜0⇔x∈(－∞，2－10)∪(2＋10，＋∞)∪(1－3，1＋3)．[规律总结]由于|f(x)|＞a中，a为大于零的常数，而本题中x＋2正负不确定，故讨论其正负，即得解法一；解法二是不管x＋2的正负，直接利用公式|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a求解，结果是一样的．从理论上讲，解法一更合理些.备选例题1解不等式|x2－4|＋|x＋3|＞5.或－3≤x＜－2x2－4＋(x＋3)＞5或－2≤x＜2－(x2－4)＋x＋3＞5或x≥2x2－4＋x＋3＞5⇔x＜－3或－1＜x＜2或x＞2∴原不等式的解集为(－∞，－3)∪(－1,2)∪(2，＋∞).题型二绝对值不等式性质的应用思维提示①不等式的基本性质；②绝对值不等式的性质.例2(1)若x＜5，n∈N*，则下列不等式：①|xlgnn＋1|＜5|lgnn＋1|；②|x|lgnn＋1＜5lgnn＋1；③xlgnn＋1＜5|lgnn＋1|；④|x|lgnn＋1＜5|lgnn＋1|.能够成立的有________个．(2)不等式|a＋b||a|－|b|≥1成立的充要条件是________．[分析](1)利用对数函数的性质和不等式的性质进行判断，用排除法解较简便．(2)可从绝对值不等式的性质|a＋b|≥|a|－|b|出发，去寻找原不等式成立的充要条件．[解析](1) 0＜nn＋1＜1，∴lgnn＋1＜0.由x＜5，并不能确定|x|与5的关系，∴可以否定①，②，③.而|x|lgnn＋1≤0，④成立．(2)当|a|＞|b|时，有|a|－|b|＞0，∴|a＋b|≥||a|－|b||＝|a|－|b|，∴必有|a＋b||a|－|b|≥1.即|a|＞|b|是|a＋b||a|－|b|≥1成立的充分条件，当|a＋b||a|－|b|≥1时，由|a＋b|＞0，必有|a|－|b|＞0，即|a|＞|b|，故|a|＞|b|是|a＋b||a|－|b|≥1成立的必要条件，故所求为|a|＞|b|.[答案](1)1(2)|a|＞|b|[规律总结](1)放缩法是不等式证...
