高中数学 第二章 等式与不等式 2241 均值不等式课件 新人教B版必修1 课件VIP免费

2.2.4均值不等式及其应用第1课时均值不等式1.均值不等式(基本不等式)(1)算术平均值与几何平均值前提给定两个正数a，b结论数称为a，b的算术平均值数称为a，b的几何平均值ab2ab(2)均值不等式前提a，b都是正数，结论，等号成立的条件当且仅当a=b时，等号成立几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.abab2【思考】(1)算术平均值的实质是什么？提示：数a，b在数轴上对应的点的中点坐标.(2)均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式.(3)均值不等式的叙述中，“正数”两个字能省略吗？请举例说明.提示：不能，如是不成立的.(3)(4)(3)(4)22.均值不等式与最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.【思考】通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注意哪几方面？提示：求最值时，要注意三个条件，即“一正”，“二定”，“三相等”.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个不等式a2+b2≥2ab与成立的条件是相同的.()(2)当a>0，b>0时a+b≥2.()(3)当a>0，b>0时ab≤.()abab22ab()2ab(4)函数y=x+的最小值是2.()1x提示：(1)×.不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式成立的条件是a>0，b>0.(2)√.均值不等式的变形公式.(3)√.均值不等式的变形公式.(4)×.当x<0时，x+是负数.abab21x2.下列不等式正确的是()【解析】选C.因为a2>0，所以成立.22221A.a2a1B.(a)()2a1C.a2a1D.(a)()2a＋＋－＋＋221a2a＋3.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是________.【解析】当a2+1=2a，即(a-1)2=0时“=”成立，此时a=1.答案：a=1类型一对均值不等式的理解【典例】1.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A.a2+b2>2abB.a+b≥2C.D.ab112ababba2ab2.不等式a+1≥2(a>0)中等号成立的条件是()世纪金榜导学号A.a=0B.a=C.a=1D.a=212a【思维·引】利用均值不等式时需注意使用条件.【解析】1.选D.对于A项，当a=b时，应有a2+b2=2ab，所以A项错；对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D项，因为ab>0，所以，所以.ba0ab，baba22abab2.选C.因为a>0，根据均值不等式，当且仅当a=b时等号成立，故a+1≥2中等号成立当且仅当a=1.abab2a【内化·悟】1.使用均值不等式的前提条件是什么？提示：a>0，b>0.2.均值不等式中，等号成立的条件是什么？提示：a=b【类题·通】在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”.一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a=b有解.【习练·破】设00，y>0，且x+y=18，则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.822.当x>1时，的最小值为________.世纪金榜导学号2x8x1【思维·引】根据已知条件，直接利用均值不等式求最值.【解析】1.选C.因为x>0，y>0，所以，即xy≤=81，当且仅当x=y=9时，(xy)max=81.xyxy2＋2xy()2＋2.令t=，因为x-1>0，所以t≥+2=8，当且仅当x-1=，即x=4时，t的最小值为8.答案：822x8(x1)2(x1)99(x1)2x1x1x192(x1)x19x1【内化·悟】能利用均值不等式求最值的题目的原型是什么样的？提示：一般条件中有“和为定值”或“积为定值”，要求的结论是“积的最大值”或“和的最小值”.【类题·通】利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点1.两种类型(1)若a+b=p(两个正数a，b的和为定值)，则当a=b时，积ab有最大值，可以用均值不等式求得.2p4abab2＋(2)若ab=S(两个正数的积为定值)，则当a=b时，和a+b有最小值2，可以用均值不等式a+b≥求得.S2ab2.一个关注点不论哪种情况都要注意等号取得的条件.【习练·破】已知a>0，b>0，ab=4，m=b+，n=a+，求m+n的最小值.1b1...