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高中数学 第二章 等式与不等式 2241 均值不等式课件 新人教B版必修1 课件VIP免费

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2.2.4均值不等式及其应用第1课时均值不等式1.均值不等式(基本不等式)(1)算术平均值与几何平均值前提给定两个正数a,b结论数称为a,b的算术平均值数称为a,b的几何平均值ab2ab(2)均值不等式前提a,b都是正数,结论,等号成立的条件当且仅当a=b时,等号成立几何意义所有周长一定的矩形中,正方形的面积最大.abab2【思考】(1)算术平均值的实质是什么?提示:数a,b在数轴上对应的点的中点坐标.(2)均值不等式中的a,b只能是具体的某个数吗?提示:a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式.(3)均值不等式的叙述中,“正数”两个字能省略吗?请举例说明.提示:不能,如是不成立的.(3)(4)(3)(4)22.均值不等式与最值两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.【思考】通过以上结论可以得出,利用均值不等式求最值要注意哪几方面?提示:求最值时,要注意三个条件,即“一正”,“二定”,“三相等”.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个不等式a2+b2≥2ab与成立的条件是相同的.()(2)当a>0,b>0时a+b≥2.()(3)当a>0,b>0时ab≤.()abab22ab()2ab(4)函数y=x+的最小值是2.()1x提示:(1)×.不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;不等式成立的条件是a>0,b>0.(2)√.均值不等式的变形公式.(3)√.均值不等式的变形公式.(4)×.当x<0时,x+是负数.abab21x2.下列不等式正确的是()【解析】选C.因为a2>0,所以成立.22221A.a2a1B.(a)()2a1C.a2a1D.(a)()2a++-++221a2a+3.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是________.【解析】当a2+1=2a,即(a-1)2=0时“=”成立,此时a=1.答案:a=1类型一对均值不等式的理解【典例】1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b2>2abB.a+b≥2C.D.ab112ababba2ab2.不等式a+1≥2(a>0)中等号成立的条件是()世纪金榜导学号A.a=0B.a=C.a=1D.a=212a【思维·引】利用均值不等式时需注意使用条件.【解析】1.选D.对于A项,当a=b时,应有a2+b2=2ab,所以A项错;对于B,C,条件ab>0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D项,因为ab>0,所以,所以.ba0ab,baba22abab2.选C.因为a>0,根据均值不等式,当且仅当a=b时等号成立,故a+1≥2中等号成立当且仅当a=1.abab2a【内化·悟】1.使用均值不等式的前提条件是什么?提示:a>0,b>0.2.均值不等式中,等号成立的条件是什么?提示:a=b【类题·通】在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”.一正,a,b均为正数;二定,不等式一边为定值;三相等,不等式中的等号能取到,即a=b有解.【习练·破】设00,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.822.当x>1时,的最小值为________.世纪金榜导学号2x8x1【思维·引】根据已知条件,直接利用均值不等式求最值.【解析】1.选C.因为x>0,y>0,所以,即xy≤=81,当且仅当x=y=9时,(xy)max=81.xyxy2+2xy()2+2.令t=,因为x-1>0,所以t≥+2=8,当且仅当x-1=,即x=4时,t的最小值为8.答案:822x8(x1)2(x1)99(x1)2x1x1x192(x1)x19x1【内化·悟】能利用均值不等式求最值的题目的原型是什么样的?提示:一般条件中有“和为定值”或“积为定值”,要求的结论是“积的最大值”或“和的最小值”.【类题·通】利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点1.两种类型(1)若a+b=p(两个正数a,b的和为定值),则当a=b时,积ab有最大值,可以用均值不等式求得.2p4abab2+(2)若ab=S(两个正数的积为定值),则当a=b时,和a+b有最小值2,可以用均值不等式a+b≥求得.S2ab2.一个关注点不论哪种情况都要注意等号取得的条件.【习练·破】已知a>0,b>0,ab=4,m=b+,n=a+,求m+n的最小值.1b1...

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