数列失分点15忽视n的范围致误例1已知数列{an}的首项为a1＝3，通项an与前n项和Sn之间满足2an＝Sn·Sn－1(n≥2)．(1)求证：{1Sn}是等差数列，并求其公差；(2)求数列{an}的通项公式．错解(1) an＝Sn－Sn－1，∴2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1，∴1Sn－1Sn－1＝－12，∴数列{1Sn}是等差数列，并且d＝－12.(2)由(1)知{1Sn}是等差数列，且公差d＝－12，1S1＝1a1＝13，∴1Sn＝13＋(n－1)×(－12)＝5－3n6，∴Sn＝65－3n，∴an＝Sn－Sn－1＝18(3n－5)(3n－8).找准失分点在(1)问中，an＝Sn－Sn－1应写上条件n≥2.漏掉n≥2即为不规范．在第(2)问中，错误在于没有讨论n＝1的情况．失分原因与防范措施an＝Sn－Sn－1只有在n≥2时才能成立．解题时往往忽视n≥2的条件致误．解关于由Sn求an的题目时，按两步讨论，可避免出错．①当n＝1时，a1＝S1；②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.检验a1是否适合由②求的解析式，若符合，则统一，若不符合，则用分段函数表达：an＝S1(n＝1)Sn－Sn－1(n≥2).正解(1)当n≥2时，2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1，两端同除以Sn·Sn－1，得1Sn－1Sn－1＝－12，根据等差数列的定义，知{1Sn}是等差数列，且公差为－12.(2)由第(1)问的结果可得1Sn＝13＋(n－1)(－12)，即Sn＝65－3n.当n＝1时，a1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝18(3n－5)(3n－8).所以an＝3(n＝1)，18(3n－5)(3n－8)(n≥2).变式训练1已知等比数列{an}中，a2、a3、a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1＝12，公比q≠1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{bn}满足：a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)由已知得a2－a3＝2(a3－a4)，从而得2q2－3q＋1＝0，解得q＝12或q＝1(舍去)，所以an＝(12)n.(2)当n＝1时，a1b1＝1，∴b1＝2；当n≥2时，a1b1＋a2b2＋……＋an－1bn－1＋anbn＝2n－1，a1b2＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝2n－3，两式相减得anbn＝2，∴bn＝2n＋1.因此bn＝2，n＝1，2n＋1，n≥2.当n＝1时，Sn＝S1＝b1＝2；当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋……＋bn＝2＋8(1－2n－1)1－2＝2n＋2－6.综上，Sn＝2n＋2－6.失分点16忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例2已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为－32，求这四个数．错解设这四个数为aq－3、aq－1、aq、aq3，显然q2为公比．由题意得a4＝1，①a(1q＋q)＝－32.②由①得a＝±1，代入②得1q＋q＝±32. |1q＋q|≥2，∴此题无解．找准失分点这四个数的设法错误．失分原因与防范措施因为本题的设法使数列公比为q2.这就限制了公比只能大于0，从而导致错误.在解决本类问题时，一定要考虑到公比为1和不为1的情况，公比为正和为负的情况，即根据题意，对公比进行讨论.正解方法一(1)当所求等比数列的各项同号时，由上述解法知，此时无解．(2)当所求等比数列的各项异号时，设这个数列的前四项依次为aq－3、－aq－1、aq、－aq3，则有a4＝1，①a(q－1q)＝－32，得a＝±1，aq2＋32q－a＝0.把a＝1代入④，得q2＋32q－1＝0，解得q＝12或q＝－2；把a＝－1代入④，得q2－32q－1＝0，解得q＝－12或q＝2.综上，可求得四个数为：8、－2、12、－18或－18、12、－2、8.②④③方法二设这四个数为a、aq、aq2、aq3，则由题意知：a4q6＝1，①aq(1＋q)＝－32，得a2q3＝±1，a2q2(1＋q)2＝94.把a2q2＝1q代入④，得q2－14q＋1＝0，此方程无解；把a2q2＝－1q代入④，得q2＋174q＋1＝0，解此方程得q＝－14或q＝－4.当q＝－14时，a＝8；当q＝－4时，a＝－18.所以这四个数为：8、－2、12、－18或－18、12、－2、8.②④③变式训练2已知f(x)＝x3x＋1，数列{an}满足a1＝13，an＋1＝f(an)(n∈N*)．(1)求证：数列{1an}是等差数列；(2)记Sn(x)＝xa1＋x2a2＋…＋xnan(x>0)，求Sn(x)．(1)证明由已知得an＋1＝an3an＋1，∴1an＋1＝3an＋1an＝3＋1an，∴1an＋1－1an＝3.∴{1an}是首项为3，公差为3的等差数列．(2)解由(1)得1an＝3＋3(n－1)＝3n，∴Sn(x)＝3x＋6x2＋9x3＋…＋3nxn.当x＝1时，Sn(1)＝3＋6＋9＋…＋3n＝3(n＋1)n2；当x≠1时，Sn(x)＝3x＋6x2＋9x3＋…＋3nxn，故xSn(x)＝3x2＋6x3...
