专题八数学思想方法第1讲函数与方程思想【高考真题感悟】(2010·陕西)已知函数f(x)＝3x＋2，x<1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.解析 f(f(0))＝f(2)＝4＋2a，∴4＋2a＝4a，∴a＝2.2考题分析本小题考查了函数与方程的有关内容，体现了函数与方程的转化，突出了函数与方程思想的应用．易错提醒(1)函数是分段函数，在求函数值时，注意自变量所在区间．(2)准确构建方程，计算要正确．思想方法概述函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点．1．函数的思想用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识．2．方程的思想在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．3．函数的思想与方程的思想的关系在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决．对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程可相互转化．4．函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．热点分类突破题型一函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用例1已知实数a>b>c，a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求a＋b与a2＋b2的范围．解a＋b＋c＝1⇒a＋b＝1－c.a2＋b2＋c2＝1⇒(a＋b)2－2ab＋c2－1＝0⇒(1－c)2－2ab＋c2－1＝0⇒ab＝c2－c，且a＋b＝1－c.构造一个一元二次方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0，a，b是该方程的两个不相等的根，且两根都大于c，令f(x)＝x2－(1－c)x＋c2－c，(二次函数根的分布)则图象与x轴有两个交点且都在(c，＋∞)内的充分必要条件：⇒Δ＝(c－1)2－4(c2－c)>01－c2>cf(c)＝3c2－2c>0⇒－130，∴a＋3a－1>0，即a>1或a<－3，又a>0，∴a>1，故a－1>0.∴ab＝a·a＋3a－1＝(a－1)2＋5(a－1)＋4a－1＝(a－1)＋4a－1＋5≥9.当且仅当a－1＝4a－1，即a＝3时取等号．又a>3时，(a－1)＋4a－1＋5是关于a的单调增函数．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．方法二(看成不等式的解集) a，b为正数，∴a＋b≥2ab，又ab＝a＋b＋3，∴ab≥2ab＋3.即(ab)2－2ab－3≥0，解得a...
