2.2.2《直接证明与间接证明-反证法》•1.反证法是间接证明的一种基本方法．假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．•反证法的思维方法：正难则反•2．反证法的一般步骤•(1)反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；•(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；•(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．•3.应用反证法证明命题时，反设必须恰当，常见的“结论词”与“反设词”归纳如下：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词一个也没有至少有两个至多n－1个没有或至少两个存在x0不成立存在x0成立原结论词都是p或qp且q反设词不都是┐p且┐q┐p或┐q•4．常见的主要矛盾•反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，常见的主要矛盾有三类：•(1)与已知条件矛盾；•(2)与假设矛盾(自相矛盾)；•(3)与定义、定理、公理、事实矛盾．•5．一般情况下，什么样的证明题型适宜用反证法•宜用反证法证明的题型一般有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题等.反证法是一种重要的数学思想方法，对于那些含有否定词的命题，“至少”型命题、唯一性命题，尤为适宜。牛顿说：“反证法是数学上最精良的武器之一.”这就充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。数学上很多有名的结论都是用反证法得证的.比如说,素数有无穷多个,2是无理数的证明等.例1已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。证：假设方程ax+b=0(a≠0)至少存在两个根，1212不妨设其中的两根分别为x，x且x≠x12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=01212∵x≠x，x-x≠0∴a=0与已知a≠0矛盾,故假设不成立，结论成立。例2：用反证法证明：如果a>b>0，那么a>b证：假设a>b不成立，则a≤b若a=b，则a=b,与已知a>b矛盾,若ab矛盾,故假设不成立，结论a>b成立。例3求证：是无理数。2证：假设2是有理数，m则存在互质的整数m，n使得2=，n∴m=2n22∴m=2n2∴m是偶数，从而m必是偶数，故设m=2k（k∈N）2222从而有4k=2n，即n=2k2∴n也是偶数，这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。练1证明：2、3、8不可能是一个等差数列中的三项．[证明]假设2、3、8是一等差数列的某三项，即存在自然数m、n，使得3－2＝md，8－3＝nd，即3－2m＝8－3n，于是nm＝8－33－2＝(8－3)(3＋2)(3)2－(2)2＝24＋16－3－6＝6＋1.而nm为有理数与6＋1为无理数矛盾．所以2、3、8不可能是一个等差数列中的三项.•(2009·辽宁)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．•(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；•(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．(1)[解]取CD的中点G，连结MG，NG.如图．因为四边形ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG.所以MN＝MG2＋NG2＝6.•(2)[证明]连结EN，如图．假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.•由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.•又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN，又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线．
