第十三节实际问题的函数建模第十三节实际问题的函数建模考点串串讲1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数增长的速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x增大逐渐上升随x增大逐渐上升随n值而不同2.函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)增长速度的对比(1)对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于指数函数增长速度快于幂函数的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.(2)对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有xn＞logax.(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.3．解答函数应用题的一般步骤是第一步：阅读理解，认真审题．阅读题目中的文字叙述，理解叙述中所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质．尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义．审题时要抓住题目中的关键量，要勇于探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实际问题向数学问题的转化．第二步：引进数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果．第四步：再转设成具体问题作出解答．这个过程也可用以下框图表示：4．解答应用题的关键解答应用题的关键在于审题上，而要准确理解题意，又必须过好三关：(1)通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．(2)将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表示数学关系．(3)在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型之后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的解题能力．5．函数模型的确定利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法：(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；(2)利用待定系数法，确定具体函数模型；(3)对选定的函数模型进行适当的评价、比较、并选择最恰当的模型；(4)根据实际问题对模型进行适当的修正．6．数学拟合过程中的假设就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去．对于稍复杂一点的问题就无法下手了，假设的作用主要表现在以下几个方面：(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用．通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析观察，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗，在假设时就可以设这些因素不需考虑．(2)降低解题难度．虽然每一个解题者的能力不同，但经过适当的假设就都可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解．一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解.典例对对碰题型一一次函数模型例1商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店现推出两种优惠办法：(1)买一只茶壶赠送一只茶杯；(2)按购买总价的92%付款．某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只(不少于4只)，若以购买x只茶杯的付款为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯40只，应选择哪种优惠办法？分析本题考查一次函数的应用，付款分为两部分，茶壶款...
