最值与范围22901123121lxyPPxyP在直线：－＋＝上任取一点，过点且以椭圆＋＝的焦点为焦点作椭圆．点在何处时，所求椭圆的长轴最短？求长轴最短时的椭【例】圆方程．2212111221221(3,0)1233,090(9,6)230.90,(5,4)230(5,4)()26535362.451xyFFFxyFFFxyxyPxyPaPFPFabx椭圆＋＝的两个焦点为－，．易求得焦点关于直线－＋＝对称的点为－，则过点，的直线方程为＋－＝联立解得－．易证，过点－的椭圆长轴最短．为什么？自己证明因为＝＋＝，所以＝，＝故所求椭圆【的方程为解析】＋2136y＝本例通过平面几何知识，利用椭圆的定义和对称性找到长轴最短时的P点，从而解决问题．还可以有如下解法：设所求椭圆的方程为222222222901.,9190xyxyyxxyaaaaaP＋＝联关＋＝＝，进点标．立消去得于的一元二次方程．令可求得的值，而求得的坐22222222222012121201212121(0)1(0)""00.“”111"2xyxabyxxbcabcabcFFFAABBxyFFFbAABBa我们把由半椭圆＝与半椭圆＝合成的曲线称为果圆，其中＝＋，，、、是相应椭圆的焦点，、和、分别是果圆与、轴的交点．若三角形是边长为的等边三角形【变式练习，求果圆"的方程；若，求】的取值范围；2222012222220112222222222222222222,0(0)(0)()12137.4444“”1(0)1(0)7322.42(22)51FcFbcFbcFFbccbFFbccabcxyxyxxacbabbabbbcaabbaabc因为，，，，－，所以＝＝＝，＝＝，于是＝，＝＋＝故所求果圆的方程为＋＝，＋＝．由题意，得＋＞，即－由＞＋＝，即－＞－，得又解析】＞【22222124(,)225bbabaa＝－，所以，所以圆锥曲线的离心率222212121(00)2·xyPababFFePFePFe设点是双曲线－＝，右支上的任意一点，，分别是其左、右焦点，离心率为，若＝，求此双曲线的离心率的取【例】值范围．121221121212222211()2122101121(1,12].PFPFaaaePFePFPFPFPFPFeeFFFPFaeceeeee由双曲线的第一定义可知：－＝，又＝，故＝，＝，＋当且仅当点，，共线时取等号，即，所以－－，即＋，故所求双曲线的离心率的【取值范围是＋解析】圆锥曲线中的离心率反映了圆锥曲线的形状，也反映了圆锥曲线上的点到焦点和到准线的距离的关系，在实际问题中，常与第二定义联系在一起．22221(0)6202xyabFabABAFFBe已知椭圆+＝，【变式练习过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，若＝，则椭圆的离心率为______】____.2434223.33BFBdAFAdeddde如图，设＝，点到左准线的距离为，则＝，点到左准线的距离＋，由圆锥曲线的统一定义得＝＝，【则＝，故＝解析】探究性问题222222261(0)3(13)12().24034yxCababAlCABBClClABDxmxyymDm已知椭圆：+＝的离心率为，过右顶点的直线与椭圆相交于、两点，且－，－．求椭圆【和直线的方程；记椭圆在直线下方的部分与线段所围成的平面区域含边界为若曲线－＋＋＋－＝与有公共点，试求实数的最小值例】．(2010·南通一模卷)222222222222222266333.(13)1(3)(1)11.124.11242,0(13)2.1abeaabyxBCabababyxCABlyx由离心率＝，得＝，即＝①又由点－，－在椭圆：+＝上，得+＝＝②,联立①②解得＝，＝故椭圆的方程为+＝由，－，－，得【解析】直线的方程为＝－222222440()(2)8(2)22.22220xmxyymxmyGmrymm曲线－＋＋＋－＝，即－＋＋＝，其圆心坐标为，－，半径＝易知它是圆心在直线＝－上，半径为的动圆由于要求实数的最小值，故由图可知，只需考虑的情形．22min|22|224.24(42)60.60(24)2012.(1)(32)871.GlTmmmGllxyxyTxyDTDGBmmm设与直线相切于点，则由＝，得＝当＝－时，过点－，－与直线垂直的直线的方程为＋＋＝解方程组，得－，－．因为区域内的点的横坐标的最小值与最大值分别为－，，所以切点由图可知当过点时，取得最小值，即－－＋－＋＝，得＝－－本题考查了直线、椭圆、圆的方程及圆的切线等多个知识点，虽然是以椭圆为背景，但重点考查的是直线与圆的知识，题目立意新颖，有较好的区分度．22222.=1910.123xOyCyxOxyCaCCQQF...
