第二节一元二次不等式及其解法判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根{x|xx2}{x|x≠－b2a}R{x|x1＜x＜x2}∅∅一、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1、解下列不等式：0＜x2－x－2≤4转化为二元一次不等式组求解.2．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是－12，13，则a＋b的值是()A．10B．－10C．14D．－14解析：由题意知－12、13是ax2＋bx＋2＝0的两根．则a＝－12，b＝－2.a＋b＝－14.故选.D3．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取______．解析： 不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.∴a>4或a<－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)[典例]解下列不等式：x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．分类讨论（含参数的一元二次不等式的解法）[类题通法]1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．解下列不等式：[针对训练]ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．【知识梳理二】由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c>0，或a>0，Δ<0.(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c<0，或a<0，Δ<0.1、若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围______．答案：[0,1)解析：①当m＝0时，1>0显然成立．②当m≠0时，由条件知m>0，Δ＝4m2－4m<0.得06时，f(x)的值恒大于零等价于f(－1)＝1＋(a－4)×(－1)＋4－2a>0，解得a<3，故有a∈∅；②当－1≤4－a2≤1，即2≤a≤6时，角度二形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围2．对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求a的取值范围.只要f4－a2＝4－a22＋(a－4)×4－a2＋4－2a>0，即a2<0，故有a∈∅；③当4－a2>1，即a<2时，只要f(1)＝1＋(a－4)＋4－2a>0，即a<1，故有a<1.综上可知，当a<1时，对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零.解：由f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4.由题意知在[－1,1]上，g(a)的值恒大于零，∴g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0，g1＝x－2＋x2－4x＋4>0，解得x<1或x>3.故当x<1或x>3时，对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．角度三形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范围．[类题通法]恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．[典例]某小商品2013年的价格为8...
