高三数学总复习导与练 第八篇第七节配套课件(教师用) 理 课件VIP免费

第7节空间向量及其运算4．掌握向量的长度公式，两向量夹角公式、空间两点间的距离公式，并会解决简单的立体几何问题．(对应学生用书第109～110页)1．空间向量的概念2.空间向量的线性运算(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广．设a，b是空间任意两向量，若OA―→＝AC―→＝a，AB―→＝b，P∈OC，则OB―→＝OA―→＋AB―→＝a＋b，BC―→＝AC―→－AB―→＝a－b.OP―→＝λa(λ∈R)．(2)向量加法与数乘向量运算满足以下运算律①加法交换律：a＋b＝b＋a.②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ)a.(λ∈R，μ∈R)．3．空间向量中的有关定理4.空间向量的数量积(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA―→＝a，OB―→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝π2，则称a与b垂直，记作a⊥b.若〈a，b〉＝0，则称a与b同向共线，若〈a，b〉＝π，则称a与b反向共线．②两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2)两个向量数量积的性质和结论已知两个非零向量a和b.①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)②a⊥b⇔a·b＝0.③cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.④a2＝a·a＝|a|2，|a|＝a2.⑤|a·b|≤|a||b|.(3)空间向量数量积的运算律①数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.质疑探究：(1)对实数a、b，若ab＝0一定有a＝0或b＝0，而对向量a，b，若a·b＝0也一定有a＝0或b＝0吗？(2)对实数a，b，c，有(ab)c＝a(bc)而对向量a，b，c，也有(a·b)c＝a(b·c)成立吗？提示：(1)不一定．因为当a≠0，b≠0，且a⊥b时，也有a·b＝0.(2)一般地，(a·b)c≠a(b·c)，这是因为(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，若a与c不共线，则(a·b)c与a(b·c)就不共线，更不可能相等．5．空间向量的坐标运算(1)向量坐标的定义：设i、j、k为空间两两垂直的单位向量，如果OP―→＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做向量OP―→的坐标．(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么①加、减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．②数量积：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2，③夹角公式：cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2＋z1z2x12＋y12＋z12x22＋y22＋z22，④模长公式：|a|＝a·a＝x12＋y12＋z12，⑤数乘运算：λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，⑥平行的充要条件：a∥b⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)，⑦垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.(3)距离公式：设点M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，则|M1M2―→|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.1．下列命题是真命题的是(D)(A)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是不共面向量(B)若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反(C)若向量AB―→，CD―→满足|AB―→|＞|CD|―→，且AB―→与CD―→同向，则AB―→＞CD―→(D)若两个非零向量AB―→与CD―→满足AB―→＋CD―→＝0，则AB―→∥CD―→解析：空间任意两个向量都是共面向量，故A假；若|a|＝|b|，则a与b的模相等，方向不确定，故B假；两个向量不能比较大小，故C假；AB―→＋CD―→＝0⇔AB―→＝－CD―→，∴AB―→∥CD―→，故D真．2．已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，则MN―→等于(B)(A)12a＋12b－23c(B)－23a＋12b＋12c(C)12a－23b＋12c(D)23a＋23b－12c解析：如图所示，易知OM―→＝23a，ON―→＝12(OB―→＋OC―→)＝12(b＋c)，∴MN―→＝ON―→－OM―→＝12(b＋c)－23a＝－23a＋12b＋12c，故选B.3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a，b夹角的余弦值为89，则λ等于(A)(A)－2或255(B)－2(C)－255(D)2或－255解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ，|a|＝5＋λ2，|b|＝3，∴cos〈a，b〉＝6－λ3·5＋λ2＝89，∴λ＝－2或λ＝255.故选A.4．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点是否共面________(填“共面”或“不共...