高考数学第一轮总复习 第32讲 等比数列的概念及基本运算课件 文 (湖南专版) 课件VIP专享VIP免费

1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.*22_________(N)___________.___.111________1__________________________4.2_13nnnnnaaaGabGabGnqqqSqS等比数列定义①，这是证明一个数列是等比数列的依据，也可由来判断．等比数列的通项公式为②对于是、的等比中项，则，③特别要注意等比数列前项和公式应分为与两类．当时，④；当时，⑤等比数列111111()(1)11nnnnnnnaqaaqaaaqaqabnaSqq①非零常数；②；③；④；⑤【点指南】或要1.(2010·邢台模拟)已知2，a，b，c,4成等比数列，则实数b等于()A．22B．－22C．±2D．8【解析】因为2，a，b，c,4成等比数列，所以b2＝2×4＝ac，a2＝2b，所以b>0，所以b＝22.2.若数列{an}成等比数列，则“a2010·a2012＝16”是“a2011＝4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由a2010·a2012＝16，则a2011＝±4，充分性不满足；由a2011＝4，则a2010·a2012＝a22011＝16.3.(2011·辽宁卷)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．16【解析】an·an＋1＝16n，则当n≥2时，an－1·an＝16n－1，两式相除得an＋1an－1＝16＝q2⇒q＝4或q＝－4，当q＝－4时，an·an＋1＝an·an·(－4)＝－4a2n<0，不合题意，舍去；所以q＝4.4.(2010·江苏溧水模拟)等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，S3＝3a3，则公比q＝－12或1.【解析】当q＝1时，an＝a1，S3＝3a3，则q＝1符合题意．当q≠1时，a11－q31－q＝3a1q2，解得q＝－12或1(舍去)．所以q＝－12或1.5.(2011·北京卷)在等比数列{an}中，a1＝12，a4＝4，则公比q＝2；a1＋a2＋…＋an＝2n－1－12.【解析】由题意q3＝a4a1＝8＝23⇒q＝2；a1＋a2＋…＋an＝121－2n1－2＝12×(2n－1)＝2n－1－12.一等比数列的基本运算【例1】已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式和前n项和Sn.【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，所以2q＋2q＝203，解得q1＝13，q2＝3.①当q＝13时，a1＝18；所以an＝18×(13)n－1＝183n－1＝2·33－n；Sn＝18[1－13n]1－13＝27－33－n.②当q＝3时，a1＝29，所以an＝29·3n－1＝2·3n－3，Sn＝29[1－3n]1－3＝3n－2－19.综上所述，an＝2·33－nSn＝27－33－n或an＝2·3n－3Sn＝3n－2－19.【点评】(1)等比数列{an}中，an＝a1qn－1，Sn＝a11－qn1－q中有五个量，可以知三求二；(2)注意分类讨论的应用．已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项，求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.素材1【解析】设数列{an}的公比为q.由题意知，2(a3＋2)＝a2＋a4，所以q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0，所以q＝2，即an＝2·2n－1＝2n.Sn＝21－2n1－2＝2n＋1－2.二等比数列的判定及证明【例2】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5，所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.(2)数列{bn}的前n项和Sn＝541－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2，所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此{Sn＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．【点评】判定等比数列的常用方法有两种：第一种定义法，即证an＋1an＝q(q是非零常数)；另一种是等比中项法，即证a2n＝an－1·an＋1.当已知通项公式或把递推公式看作一整体时，常用定义法．等比数列{an}的前n项...