高中数学 1.2 解三角形的实际应用举例课件 新人教A版必修5 课件VIP专享VIP免费

[研一题][例1]如图，某货轮在A处看灯塔B在北偏东75°，距离为126nmile的点处，在A处看灯塔C在北偏西30°，距离为83nmile的点处，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B位于北偏东120°.求：(1)A与D的距离；(2)灯塔C与D的距离．[提示](1)在△ABD中，可知AB＝126，∠B＝45°，∠ADB＝60°，于是可利用正弦定理求AD；(2)要求CD的长，可在△ACD中，由余弦定理解决．[自主解答](1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得：AD＝ABsinBsin∠ADB＝126×2232＝24(nmile)．(2)在△ADC中，由余弦定理得：CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，解得CD＝83(nmile)．故A与D的距离为24nmile，灯塔C与D的距离为83nmile.[悟一法]1．求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．2．在实际测量距离问题中，常涉及“方位角”与“方向角”的概念，应正确理解并区分这两个概念(1)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B处的方位角为α.(2)方向角：指从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，即为方向角．[通一类]1．一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30nmile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A、D两处的距离．解：如图所示，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°.AB＝30×0.5＝15(nmile)．由正弦定理，得ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，∴AC＝ABsin∠ABCsin∠ACB＝15×sin120°sin15°＝1532＋62(nmile)．在△ACD中， ∠A＝∠D＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形．∴AD＝2AC＝15(3＋3)(nmile)．答：A、D两处之间的距离是15(3＋3)nmile.[研一题][例2]如图，某人在塔底B的正东方向C处沿着南偏西60°的方向前进40m到D处后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度为多少？[提示]依题意画图如图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40m，此时∠DBF＝45°，从C到D测塔的仰角，只有B到CD最短时，仰角才最大，由于tan∠AEB＝ABBE，AB为定值，要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，须先求BD(或BC)．[自主解答]在△BDC中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得CDsin∠DBC＝BDsin∠DCB，∴BD＝40sin30°sin135°＝202.设E是CD上一点在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝DBsin15°＝202·6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝103－33(m)．塔的高度为103－33m.[悟一法]1．仰角与俯角的概念在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图所示．2．解决高度计算问题的一般步骤是(1)根据已知条件画出示意图；(2)分析与问题有关的三角形；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；(4)要综合运用立体几何知识与平面几何知识；(5)注意方程思想的运用．[通一类]2.如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB＝20m，在A点处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h(结果保留两个有效数字)．解：在Rt△AOP中，OA＝OPtan30°＝3h，在Rt△BOP中，OB＝OPtan45°＝h，在△AOB中，由余弦定理得：AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos60°，即202＝(3h)2＋h2－2×3h×h×12.∴h2＝4004－3≈176.4.∴h≈13.答：旗杆高度约为13m.[研一题][例3]图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2nmile的C处的我方缉私船，奉命以103nmile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10nmile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．[自主解答]设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快(在D点)截获走私船，则CD＝103t...