圆与方程复习例1直线l：x－ky＋22＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，O为坐标原点，△ABC的面积为S.求S的最大值，并求此时直线l的方程．与圆有关的弦长问题与圆有关的弦长问题解方法一∵直线l与圆C交于两点，∴221＋k2<2.解得k<－1或k>1.∵AB＝24－81＋k2＝4k2－1k2＋1，∴S(k)＝12·4k2－1k2＋1·221＋k2＝42·k2－1k2＋1＝42k2－1＋2k2－1≤4222＝2，当且仅当k2－1＝2k2－1，即k＝±3时，S取得最大值2，此时直线l的方程为x－3y＋22＝0或x＋3y＋22＝0.方法二设O到直线AB的距离为m，则AB＝24－m2，∴S＝12AB·m＝4－m2·m＝(4－m2)·m2≤4－m2＋m22＝2，当且仅当4－m2＝m2，即m＝2时等号成立．∴S的最大值为2.此时由221＋k2＝2，得k＝±3.直线l的方程为x±3y＋22＝0.例2已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由圆外一点P(a，b)引两圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，满足PA＝PB.(1)求实数a，b满足的等量关系；(2)求切线长PA的最小值；(3)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．与圆有关的探索性问题与圆有关的探索性问题解(1)连结PO，PC，∵PA＝PB，OA＝BC＝1，∴PO＝PC，从而a2＋b2＝(a－2)2＋(b－4)2.化简得实数a，b满足的等量关系为a＋2b－5＝0.(2)由a＋2b－5＝0，得a＝5－2b.PA＝PO2－OA2＝a2＋b2－1＝(5－2b)2＋b2－1＝5b2－20b＋24＝5(b－2)2＋4.∴当b＝2时，(PA)min＝2.(3)∵圆O与圆C的半径均为1，若存在半径为R的圆P，与圆O相内切且与圆C相外切，则有PO＝R－1且PC＝R＋1.于是PC－PO＝2，即PC＝PO＋2，从而(a－2)2＋(b－4)2＝a2＋b2＋2，两边平方，整理得a2＋b2＝4－(a＋2b)．将a＋2b＝5代入上式，得a2＋b2＝－1<0.故满足条件的实数a，b不存在，∴不存在符合题设条件的圆P.已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于点N.(1)求证：当直线l与m垂直时，直线l必过圆心C；(2)当PQ＝23时，求直线l的方程；(3)探究AM→·AN→是否与直线l的倾斜角有关．若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．变式训练3(1)证明∵l与m垂直，且km＝－13，∴kl＝3.又kAC＝3，∴当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)解①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1，符合题意；②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵PQ＝23，∴CM＝4－3＝1.∴CM＝|－k＋3|k2＋1＝1，得k＝43.∴直线l：4x－3y＋4＝0.故所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.(3)解∵CM⊥MN，∴AM→·AN→＝(AC→＋CM→)·AN→＝AC→·AN→＋CM→·AN→＝AC→·AN→.①当l与x轴垂直时，易得N－1，－53，则AN→＝0，－53.又AC→＝(1,3)，∴AM→·AN→＝AC→·AN→＝－5.②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由y＝k(x＋1)，x＋3y＋6＝0，得点N－3k－61＋3k，－5k1＋3k.∴AN→＝－51＋3k，－5k1＋3k.∴AM→·AN→＝AC→·AN→＝－51＋3k＋－15k1＋3k＝－5.综上所述，AM→·AN→与直线l的倾斜角无关，且AM→·AN→＝－5.•作业：复习参考题
