1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a，实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把的向量e1，e2叫做表示这一平面内向量的一组基底．不共线任意有且只有一对不共线所有2．两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是．②当θ＝0°时，a与b．③当θ＝180°时，a与b．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作______.非零∠AOB[0°，180°]同向反向a⊥b探究点一平面向量基本定理的提出(1)平面内的任何向量都能用这个平面内两个不共线的向量来表示．如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量AB→，CD→，EF→，GH→，HG→，a.通过观察，可得：AB→＝_________，CD→＝_________，EF→＝_________，GH→＝_____________，HG→＝___________，a＝______.2e1＋3e2－e1＋4e24e1－4e2－2e1＋5e22e1－5e2－2e1(2)平面向量基本定理的内容是什么？什么叫基底？答平面向量基本定理是指：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.这里不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．探究点二平面向量基本定理的证明(1)证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e1，e2是平面内两个不共线的向量，a是这一平面内任一向量，a能否表示成λ1e1＋λ2e2的形式，请通过作图探究a与e1、e2之间的关系．答在平面内任取一点O，作OA→＝e1，OB→＝e2，OC→＝a，过点C分别作平行于OB，OA的直线，交直线OA于点M，交直线OB于点N，有OM→＝λ1OA→，ON→＝λ2OB→， OC→＝OM→＋ON→，∴a＝λ1e1＋λ2e2，如图所示．(2)证明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是和e1、e2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法)答假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使a＝λ′1e1＋λ′2e2成立，则λ′1e1＋λ′2e2＝λ1e1＋λ2e2.∴(λ′1－λ1)e1＋(λ′2－λ2)e2＝0. e1、e2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0，∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数对λ1，λ2是唯一的．探究点三向量的夹角(1)已知a、b是两个非零向量，过点O作出它们的夹角θ.答过点O作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ，就是a与b的夹角．(2)两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？答两个非零向量夹角的范围是0°≤θ≤180°，确定两个向量夹角时要注意先使向量的始点相同，再确定大小．(3)在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角：a．〈AB→，AC→〉＝；b．〈AB→，CA→〉＝；c．〈BA→，CA→〉＝；d．〈AB→，BA→〉＝.60°120°60°180°【典型例题】例1已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.解 a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又 e1，e2不共线，∴3x－2y＝7，－2x＋y＝－4.解得x＝1，y＝－2，∴c＝a－2b.小结选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量．这有时要利用平面几何知识．要注意将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析解决．跟踪训练1如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→，AD→.解设AB→＝a，AD→＝b，则AM→＝AD→＋DM→＝AD→＋12AB→＝12a＋b，①AN→＝AB→＋BN→＝AB→＋12AD→＝a＋12b②由①②得12a＋b＝ca＋12b＝d，解得a＝－23c＋43db＝43c－23d，即AB→＝－23c＋43d，AD→＝43c－23d.例2如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若AB→＝a，AD→＝b，试用a、b表示DC→、BC→、MN→.解如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．则DC→＝AN→＝12AB→＝12a，BC→＝N...
