5.1统计5.1.4用样本估计总体第五章统计与概率学习目标1.了解分层抽样中的均值与方差，会用样本的数字特征估计总体的数字特征.2.理解频率分布直方图中有关数字特征的含义，会用样本的分布估计总体的分布.3.在解决问题过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，认识统计的实际作用，初步经历收集数据到统计数据的全过程.重点：总体数字特征的计算和总体分布的估计.难点：频率分布直方图中有关数字特征的计算.知识梳理1.用样本的数字特征估计总体的数字特征一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征.特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大.在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征，这样就能节省人力和物力等.所以，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可.2.分层抽样的均值与方差以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为x，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为y，方差为t2.则x＝m11imxi，s2＝11mim（xi-x）2，y＝11niiyn，t2＝211()niiyyn.如果记样本均值为a，样本方差为b2，则可以算出a＝1mn（1mixi+1niyi）＝mxnymn，b2＝2222[()][()]msxantyamn＝1mn222()()mnmsntxymn.这个公式推导如下： s2＝11mim（xi-x）2＝11mim（xi-a+a-x）2＝11mim［（xi-a）2+2（a-x）（xi-a）+（a-x）2］＝1m1mi（xi-a）2+2（a-x）1mi（xi-a）+1mi（a-x）2＝1m1mi（xi-a）2-2m（x-a）2+m（x-a）2＝1m1mi（xi-a）2-m（x-a）2，∴1mi（xi-a）2＝m［s2+（x-a）2］.同理1ni（yi-a）2＝n［t2+（y-a）2］.（x-a）2=（x-mxnymn）2=22()()nxymn，同理（y-a）2＝22()()mxymnb2＝2211()]()mniixayamn＝2222[()][()]msxantyamn＝222221()()()mnxymsntmnmn222()()mnxymn＝1mn222()()mnmsntxymn.3.用样本的分布来估计总体的分布如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的分布与总体分布会差不多.特别地，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大.如果容许有一定误差，则可以用样本的分布去估计总体的分布.而且，在总体的分布不可能获得时，只能用样本的分布去估计总体的分布.同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差.如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说，（πi-pi）2＝［（π1-p1）2+（π2-p2）2+…+（πn-pn）2］不等于零.同样，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大.题型一用样本估计总体常考题型例1［2019·甘肃庆阳第一中学高一月考］为了调查某校高三学生的身高，随机抽取了50名学生实测身高的数据（单位：cm）如下：175168170176167181162173171177179172165157172173166177169181160163166177175174173174171171158170165175165174169163166166174172166172167172175161173167（1）求这50名学生的身高的平均数、标准差.（2）如果用简单随机抽样的方法从这50名学生中再抽取一个样本容量为10的样本，试设计抽取方案并求出抽取的10名学生身高的平均数及方差.【解】（1）x＝150（175+168+…+167）＝170.1，s＝2221[(175170.1)(168170.1)(167170.1)]50≈5.6.（2）将50名学生编号，分别为00，01，…，49，做成便签，摇匀后从其中随机抽一编号，得其对应学生身高为176，摇匀后再抽一编号，得其对应学生身高为173……依次类推得到10名学生的身高如下：176，173，167，169，174，181，158，166，165，171.故平均数为110（176+173+…+171）＝170.方差为110［（176-170）2+（173-170）2+…+（171-170）2］＝37.8.【归纳总结】平均数的计算方法（1）定义法：当所给数据x1，x2，…，xn比较小，又比较分散时，一般选用公式x＝12...
