1.全称量词定义：短语“”“”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.全称命题：含有的命题，叫做全称命题.形式：.读作：“对任意x属于M，有p(x)成立”.对所有的对任意一个∀全称量词∀x∈M，p(x)2.存在量词定义：短语“”“”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.特称命题：含有的命题，叫做特称命题.形式：.读作：“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”.存在一个至少有一个∃存在量词∃x0∈M，p(x0)探究点一全称量词与全称命题问题1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数.答案语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.结论短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universalquantifier)，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.形式：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.问题2怎样判定一个全称命题的真假？答案要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可.例1判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数.解(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题.(2)∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题.(3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数.所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题.小结判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1.解(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.探究点二存在量词与特称命题问题1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3；(4)至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.答案(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.结论短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existentialquantifier)，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.问题2怎样判断一个特称命题的真假？答案要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题.例2判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数.解(1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在.所以，特称命题“有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0”是假命题.(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题.(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题.小结特称命题是含有存在量词的命题，判定一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可.跟踪训练2判断下列命题的真假：(1)∃x0∈Z，x30<1；(2)存在一个四边形...
