第八章现代数学与应用数学的作用日趋广泛数学是解决各种现实问题的工具数学已成为自然科学、技术发展的重要思想方法一种科学只有成功地运用数学时，才算达到完善的地步（马克思）8.120世纪数学应用的发展概况•随着二次世界大战的爆发，大量的实际问题吸引着无数的数学家投入到应用数学的研究。“数学家不能无视客观世界，必须运用数学而且承担解决应用问题的道义责任。”（维纳语）。数理逻辑、运筹学、控制论等应用数学，都从战争的需要中找到了自己生长发育的土壤20世纪最初的二、三十年中，崇尚纯粹数学，忽视数学应用，成为数学研究的主要思想倾向20世纪下半叶，是应用数学发展的高峰期:突变理论、模糊数学以及计算机数学应运而生.数学应用受到社会的关注并取得前所未有的发展数学与其它领域相结合而形成一系列交叉学科8.2数学模型方法哥尼斯堡七桥问题是将实际问题转化为数学问题，并借助数学理论来解释现实问题的方法•用数学模型方法解决实际问题，主要经历以下的几个步骤：•建构数学模型的过程是不断地实践检验、重构的过程。为建模提供必要的观测数据和经验性的结论区分现实问题中的主次因素，简化现实问题的结构关系，给出这些因素、关系的数学概念和数学结构，数学模型的解常常需要与计算机有关的算法设计构建数学模型求解数学问题回到实际中解释结果生态学中应用的范例:•意大利数学家伏尔泰拉建立了一个数学模型，用微分方程描述捕食者与猎物之间的相互消长，得到的解为：猎物（小鱼）和捕食者（大鱼）的平均数分别为(a2+c)/b1,(a1－c)/b2.（其中a1，a2，b1，b2都是参数，c是捕鱼量）当捕鱼量c增加时，捕食者减少，猎物增加；当c减小时，捕食者增加而猎物减小20世纪20年代，意大利生物学家迪安康纳在研究地中海各种鱼群的变化及其相互影响时发现，鲨鱼及其它凶猛大鱼的捕获量在全部捕鱼量中的比例有戏剧性的变化:在第一次世界大战期间凶猛大鱼的捕获量成倍增长数学模型给出的结果，可以给这一现象解释如下：因战争捕鱼量下降，凶猛大鱼的数量增加战后捕鱼量逐渐增加，凶猛大鱼的数量便逐渐下降。这一模型所揭示的规律现在称为伏尔泰拉原理8.3非线性数学•对现实世界中的各类问题的线性处理：譬如，牛顿用动力学定律描述物体的确定性现象：当物体在外力作用下，如果已知在初始时刻t。物体位于初始位置x0，就可以推知物体在未来时刻t的位置。在这里，一个基本的假设是运动关于初始值是稳定的，即初值的微小误差，不会影响物体未来的运动轨迹。非线性问题没有一般的求解方法。往往很难求得准确解，常采用线性逼近的方法求得非线性问题的近似解。例如：“拟线性”的方法。世界本质上是非线性的：绝大多数的事物并非是稳定的、有序的和平衡的。譬如，蝴蝶效应（对初始条件的敏感依赖性），描述这类系统的数学模型不同于牛顿力学的原理，而是更为复杂的非线性系统的原理和模型。人口增长数学模型：从线性方程到非线性方程马尔萨斯的线性方程数学模型：人口的增长率与现有的人口数成正比，即axx.按照这个模型考察短期人口的增长情况，基本是正确的。但是用它未预见更长一段时期的情况，就很难奏效。比如，1965年1月的世界人口是33.4亿，由于1960年至1970年世界人口的平均增长率为2%。按马尔萨斯的模型计算，到2660年，世界人口将达到3.6×107亿。这样，即使我们把占地球面积80%的水面也住上人，届时每个人的肩上也得站两个人。逻辑斯蒂模型，一个非线性方程及其解:2xxx)(0ttcex其中c＞0是常数，它由t0时的人口数x0=α/(β+c)确定。当t趋于无穷大时，x趋于α/β。这表示在资源有限的区域内，人口不能无限制地增长，它要趋于一个饱和值（α/β）。按照逻辑斯蒂模型计算，地球总人数的饱和值估计将是107.6亿，而按照这一模型曲线，在人口达到这个饱和值的一半之前，是人口加速增长时期；达到其一半之后，人口增长率就降低，进入减速增长时期，最终的增长率趋于零。•量子场理论____麦克斯韦方程___杨——米尔斯方程•整体微分几何____陈示性类与纤维丛理论数学与物理的内在和谐性8.4杨——米尔斯方程与现代微分几何现代理论物理...
