第三节函数的奇偶性考纲点击1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2.会运用函数图象理解和研究函数的性质..热点提示1.函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是2011年高考考查的重点，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命题.2.在每年的高考试题中，三种题型都有可能出现，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题.奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称1.函数的奇偶性1.奇偶函数的定义域有何特点？提示：由于定义中对任意一个x都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，说明定义域中任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称.2.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？提示：存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零.2．奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(“”“”填相同、相反)．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和函数是，两个奇函数的积函数是偶函数；②两个偶函数的和函数、积函数是；③一个奇函数，一个偶函数的积函数是．(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.相同相反奇函数偶函数奇函数1．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数【解析】令F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(－x)＝f(－x)＋f(x)，即F(x)＝F(－x)，故D正确．【答案】D2．对任意实数x，下列函数为奇函数的是()A．y＝2x－3B．y＝－3x2C．y＝ln5xD．y＝－|x|cosx【解析】A为非奇非偶函数，B、D为偶函数，C为奇函数．设y＝f(x)＝ln5x＝xln5，∴f(－x)＝－xln5＝－f(x)．【答案】C3．对于定义在R上的任何奇函数，均有()A．f(x)·f(－x)≤0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)＞0D．f(x)－f(－x)＞0【解析】 f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.【答案】A4．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝________.【解析】 f(x)为奇函数且f(3)－f(2)＝1，∴f(－2)－f(－3)＝f(3)－f(2)＝1【答案】15．下面四个命题：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确的命题序号为________．【解析】当y＝f(x)在x＝0处无定义时，①②都不正确； 偶函数的图象关于y轴对称，∴③正确； 既是奇函数又是偶函数的函数可以写成f(x)＝0，x∈[－a，a](其中a可为任一确定的正实数)，∴④错误．【答案】③函数奇偶性的判定讨论下列函数的奇偶性：【思路点拨】首先判断函数的定义域，若可能具有奇偶性，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断f(－x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数)．【自主探究】(1)要使f(x)≥有意义，则0，解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)不存在奇偶性．(2) ∴－2≤x≤2且x≠0，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．∴f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．【方法点评】1.判断函数奇偶性的一般步骤(1)首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称．若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数．(2)若定义域关于原点对称，再判定f(－x)与f(x)之间的关系①若f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则f(x)为奇函数；②若f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则f(x)为偶函数；③若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；④若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．2．一些重要类型的奇偶函数：(1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数；1．判断下列函数的奇偶性：(3)f(x)＝|x－a|(常数a∈R)．【解析】(1) f(x)的定义域为{x|x＞0}不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}关于原点对称，此时f(x)＝0...
