专题五解析几何第1讲直线与圆【高考真题感悟】(2010·山东)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上.直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为____________.解析设圆心坐标为(x0,0)(x0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r＝|x0－1|.圆心到直线l的距离为d＝|x0－1|2.由弦长为22可知|x0－1|22＝(x0－1)2－2，整理得(x0－1)2＝4.∴x0－1＝±2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去).因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y＝x－1垂直的直线方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.x＋y－3＝0考题分析本小题考查了直线的方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式及圆的弦长、弦性质等.试题以直线与圆为背景，引入圆心坐标，以垂径定理为依据，构建方程，是解决该题的关键.易错提醒(1)不能熟练应用垂径定理，构建方程.(2)易忽视题目限制条件.如圆心在x轴的正半轴上.(3)所求直线斜率是直线l的斜率的负倒数.这也是许多考生易错的知识点.主干知识梳理1.直线的方程(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾斜角的范围.(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况.(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解.(4)求直线方程的主要方法是待定系数法.在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程的选择，注意分类讨论的思想.(5)在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系.另外，解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题.(6)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l1，l2斜率都存在，且不重合的条件下，才有l1∥l2⇔k1＝k2与l1⊥l2⇔k1k2＝－1.(7)在运用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求平行直线间的距离时，一定要把x，y项的系数化成相等的系数.2.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心为(－D2，－E2)，半径为r＝D2＋E2－4F2；二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是B＝0，A＝C≠0，D2＋E2－4AF>0.(3)圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的方法可用待定系数法.根据所给条件恰当选择标准方程或一般方程.热点分类突破题型一直线的概念、方程及位置关系问题例1已知直线l1：x－2my＋3＝0，直线l2的方向向量为a＝(1,2)，若l1⊥l2，则m的值为______.解析由直线l2的方向向量为a＝(1,2)，知直线l2的斜率k2＝2， l1⊥l2，∴直线l1的斜率存在，且k1＝12m，由k1·k2＝－1，即12m·2＝－1，得m＝－1.故填－1.－1探究提高本题考查两条直线的垂直关系，这类问题在高考中属于基本问题，常与充要条件的判断、向量知识、圆或圆锥曲线等知识结合起来命题.虽为基础知识，但最易陷入易混易错的陷阱.变式训练1若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为________.解析由l1∥l2，知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)，2a2≠18，求得a＝－1，∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，两条平行直线l1与l2间的距离为d＝6－2312＋(－1)2＝823.823题型二圆的方程及圆的性质问题例2已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，求圆C的方程.解 圆C关于y轴对称，∴圆C的圆心C在y轴上，可设C(0，b).设圆C的半径为r.则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.依题意，得12＋(－b)2＝r2|b|＝12r解之得r2＝43b＝±33.∴圆C的方程为x2＋y±332＝43.探究提高求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.(3)本题突破的关键是，将x轴分成两段弧长之比为1∶2，转化为弦所对圆心角为120°.变式训练2在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)...
