第七节双曲线考纲解读1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想．考向预测1．双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；直线与双曲线的位置关系有时也考查，但不作为重点．2．主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题目．知识梳理1．双曲线的概念我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的等于常数(大于零且小于)的点集合叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的，两焦点间的距离叫绝对值|F1F2|焦点焦距．集合P＝{M|||FM1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当时，P点的轨迹是；(2)当时，P点的轨迹是；(3)当时，P点ac不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：对称中心：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝y＝性质离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝坐标轴原点±bax±abxcaa2＋b2性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝(c>a>0，c>b>0)实轴虚轴a2＋b23.基础三角形如图，△AOB中，|OA|＝a，|AB|＝，|OB|＝c，tan∠AOB＝ba，△OF2D中，|F2D|＝.bb4．等轴双曲线等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为.实轴和虚轴2y＝±x基础自测1.(文)(2012·洛阳质检)双曲线x210－y22＝1的焦距为()A．32B．42C．33D．43[答案]D[解析]由题意知a2＝10，b2＝2.又c2＝a2＋b2，∴c2＝12，c＝23，焦距2c＝43.(理)(教材改编题)已知方程x25－m－y21－m＝1表示双曲线，则m的取值范围为()A．(－∞，1)∪(5，＋∞)B．(－∞，1)C．(5，＋∞)D．(1,5)[答案]A[解析]由(5－m)(1－m)>0，得m>5或m<1.2．实轴在y轴上的双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝()A．－14B．－4C．4D.14[答案]A[解析]由已知，得a2＝1，b2＝－1m，且b＝2a，则a＝1，b＝－1m，即－1m＝2，解得m＝－14.3．设P是双曲线x2a2－y29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．1或5B．6C．7D．9[答案]C[解析]由渐近线方程y＝32x，且b＝3，得a＝2，由双曲线的定义，得||PF2|－|PF1||＝4，又|PF1|＝3，∴|PF2|＝7.4．设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A.32B．2C.52D．3[答案]B[解析]考查三角形中的边角关系及双曲线离心率的求法．由题意可得c＝233b，即c2＝43b2，又b2＝c2－a2，∴c2＝43(c2－a2)，解得e＝ca＝2.5．(2011·辽宁理，13)已知点(2,3)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．[答案]2[解析]本小题考查的内容为双曲线的几何性质．4a2－9b2＝1a2＋b2＝4，∴a2＝1b2＝3，∴a＝1，c＝2，∴e＝ca＝2.6．(2010·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为__________．[答案]x24－y212＝1[解析]本题考查了双曲线的标准方程与几何性质．由抛物线y2＝16x的焦点坐标为(4,0)，得c＝4.又由双曲线的渐近线方程为y＝±3x得ba＝3⇒b＝3a，又 c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝23.所以双曲线方程为x24－y212＝1.7．如图，已知圆A的方程为(x＋3)2＋y2＝4，定点C(3,0)，求过定点C且和圆A外切的动圆的圆心P的轨迹方程．[解析]依题意得|PA|－|PC|＝2.又|PA|>|PC|，且|AC|＝6>2.由双曲线的定义，知点P的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的右支，故点P的轨迹方程为x2－y28＝1(x≥1)．[例1]已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[分析]设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋r1，|MC2|＝r－r2，则|MC1|－|MC2|＝r1＋r2＝定值，故可用双曲...
