第五节解三角形第五节解三角形考点串串讲1．直三角形中的边角关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边满足勾股定理(2)两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°(3)边角之间有如下关系sinα＝α的对边斜边cosα＝α的邻边斜边tanα＝α的对边α的邻边(其中α为某个锐角)2．对正弦定理的理解(1)正弦定理若a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对的边长，则asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是△ABC外接圆的半径．正弦定理不仅揭示了三角形中边与角之间的正弦关系，而且还揭示了它们与三角形的外接圆半径之间的关系，其变形形式有：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2RasinB＝bsinA，csinB＝bsinC，csinA＝asinC，abc＝sinAsinBsinC以上这些关系式，可根据问题的条件和结论加以选择应用．(2)利用正弦定理解斜三角形利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题：①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边和角．②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角．对于已知两边和其中一边的对角，要注意解的讨论，因为这时三角形是不能唯一确定的，解这类三角形问题将出现无解、一解和两解的情况．图1和图2就表示了在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．①当A为锐角时，见图1.②当A为直角或钝角时，见图2.(3)几点说明：①正弦定理的本质揭示了三角形的边和所求角的关系，适用范围是任何三角形．②若题设中出现的边或角的正弦是齐次的，则一般可以利用正弦定理或将边转化为角的三角函数或将角的三角函数转化为边．3．对余弦定理的理解(1)余弦定理：若a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对边长，则a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表示形式是cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，∠A为钝角⇔a2＞b2＋c2，∠A为直角⇔a2＝b2＋c2，∠A为锐角⇔a2＜b2＋c2.(2)利用余弦定理可以解决如下两类问题：①已知三边，求各角．②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．这两类问题在有解时都只有一个解．提示：余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第四个量来．(3)常用的三角形面积公式S＝12aha＝12bhb＝12chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高)S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinBS＝abc4R(R为外接圆半径)S＝12pp－ap－bp－c(其中p＝12(a＋b＋c))S＝12(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)4．解三角形常用的公式和结论(1)关于三角形边、角的主要关系式①三角形内角和等于180°.②三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．③三角形中大边对大角，小边对小角．④正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R.⑤勾股定理c2＝a2＋b2.(其中c为直角三角形的斜边)．⑥余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC；cosC＝a2＋b2－c22ab.易知勾股定理是余弦定理的特殊情况．⑦在△ABC中有：a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB⇔cosA
