6.2.4向量的数量积学习目标1.通过物理中功等实例，理解平面向量的数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.重点：平面向量的数量积的概念及其应用.难点：对平面向量的数量积的概念的理解以及平面向量数量积的应用.1．向量的夹角条件两个向量a和b产生过程作向量OA―→＝a，OB―→＝b，则叫做向量a与b的夹角范围特殊情况θ＝0°a与bθ＝90°a与b，记作θ＝180°a与b∠AOB同向垂直反向非零0°≤θ≤180°a⊥b知识梳理2．向量数量积的定义(1)两个非零向量的数量积：已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ定义a与b的数量积(或内积)是数量记法(2)规定：零向量与任一向量的数量积均为0.|a||b|cosθa·b＝|a||b|cosθ[点睛](1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．3．向量的数量积的几何意义设两个非零向量a，b，它们的夹角为θ.(1)投影的概念：①向量b在a的方向上的投影为.②向量a在b的方向上的投影为.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与的乘积．|b|cosθ|a|cosθb在a的方向上的投影|b|cosθ[点睛](1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成a·b|a|.(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．4．向量数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔.(2)当a与b同向时，a·b＝，当a与b反向时，a·b＝.(3)a·a＝或|a|＝a·a＝a2.(4)cosθ＝.(5)|a·b||a||b|.a·b＝0|a||b|[点睛]对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．－|a||b||a|2a·b|a||b|≤5．向量数量积的运算律(1)a·b＝(交换律)；(2)(λa)·b＝＝(结合律)；(3)(a＋b)·c＝(分配律)．b·aλ(a·b)a·c＋b·c[点睛](1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．a·(λb)例1一平面向量数量积的计算1.向量数量积的基本计算常考题型已知|a|＝6，|b|＝5，当：（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积.【解】（1）当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|cos0°＝6×5＝30；若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝|a||b|cos180°＝-6×5＝-30.（2）当a⊥b时，a与b的夹角为90°，a·b＝|a||b|cos90°＝0.（3）当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a||b|cos60°＝6×5×12＝15.【提示】平面向量数量积的计算方法（1）定义法利用定义中的公式a·b＝|a||b|cosθ求数量积.（2）利用运算律转化法根据数量积的运算律，由（a+b）·（c+d）＝a·c+a·d+b·c+b·d可得如下运算公式：（a+b）·（a-b）＝|a|2-|b|2；（a+b）2＝|a|2+2a·b+|b|2；（a-b）2＝|a|2-2a·b+|b|2.（3）利用向量的线性运算转化法涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解.训练题1.2.［2019·兰州一中高一期末］已知平面向量a，b的夹角为23，|a|＝1，|b|＝2，则a·（a+b）＝（）A.3B.2C.0D.1+3［2019·辽宁本溪市高级中学高一检测］已知|a|＝5，|b|＝2，向量a与b的夹角θ＝60°，求（a+2b）·（a-3b）.C解：因为|a|＝5，|b|＝2，向量a与b的夹角θ＝60°，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝5×2×12＝5，∴（a+2b）·（a-3b）＝a2-a·b-6b2＝25-5-24＝-4，故（a+2b）·（a-3b）＝-4.例22.几何图形中的数量积［2019·广东深圳市高级中学高三模拟］已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF�·BC�的值为（）A.-58B.118C.14D.18【解析】由DE＝2EF，可得DE�＝2EF�，EF�＝12DE�，如图，连接AE，则...
