知识梳理典例变式基础训练能力提升第2讲复数、推理与证明知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理1.复数的有关概念(1)复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b.(2)复数的分类:复数z=a+bi(a,b∈R)൞实数(𝑏=0),虚数(𝑏≠0)ቊ纯虚数(𝑎=0,𝑏≠0),非纯虚数(𝑎≠0,𝑏≠0).(3)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).(5)复数的模:向量𝑂𝑍ሬሬሬሬሬԦ的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=ඥ(𝑎2+𝑏2)(r≥0,a,b∈R).知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理2.复数的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则:(1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(4)𝑧1𝑧2=𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i=(𝑎+𝑏i)(𝑐-𝑑i)(𝑐+𝑑i)(𝑐-𝑑i)=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i(c+di≠0).3.复数的几何意义(1)复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.(2)实轴、虚轴:在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.(3)复数的几何表示:复数z=a+bi一一对应复平面内的点Z(a,b),一一对应平面向量𝑂𝑍ሬሬሬሬሬԦ.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理4.合情推理类型定义特点归纳推理根据某类事物的部分对象具有某种特征,推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理5.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.(2)模式:“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(3)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理,直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果执果索因框图表示P(已知)⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒Q(结论)Q(结论)⇐P1→(P1⇐P2)→…→得到一个明显成立的条件知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理6.反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.7.用反证法证明问题的一般步骤第一步分清命题“p⇒q”的条件和结论第二步作出命题结论q相反的假设q第三步由p和q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果第四步断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设q不真,于是结论q成立,从而间接地证明了命题p⇒q为真知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理8.常见的结论和反设词原结论词反设词至少有一个一个都没有至多有一个至少有两个至少有n个至多有(n-1)个至多有n个至少有(n+1)个都是不都是对任意x成立存在某个x不成立对任意x不成立存在某个x成立知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理原结论词反设词p或qp且qp且qp或q不都是都是知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【例1】(1)设i是虚数单位,若复数a-103-i(a∈R)是纯虚数,则a的值为()A.-3B.-1C.1D.3(2)若3+𝑏i1-i=a+bi(a,b∈R),则a+b=.【解析】(1)复数a-103-i=a-10(3+i)10=(a-3)-i为纯虚数.∴a-3=0,∴a=3.(2)由已知得3+bi=(1-i)(a+bi)=a+bi-ai-bi2=(a+b)+(b-a)i,根据复数相等的条件,得൜𝑎+𝑏=3,𝑏-𝑎=𝑏,∴൜𝑎=0,𝑏=3,∴a+b=3.【答案】(1)D(2)3知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方...
