第七章计数原理、概率与统计第46讲分类和分步计数原理与排列、组合的基本问题【学习目标】1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．2．理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题．【基础检测】1．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法有()A．81种B．64种C．48种D．24种A【解析】每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.2．如图所示为一电路图，从A到B不同的线路可通电共有()A．4条B．6条C．8条D．10条C【解析】 按上、中、下三条线路可分为三类：上线路中有3条，中线路中有1条，下线路中有2×2＝4条，根据分类加法计数原理，共有3＋1＋4＝8(条)．故选C.3．若从1，2，3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有()A．66种B．63种C．61种D．60种D【解析】从1，2，3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为奇数的取法分为两类：第一类取1个奇数，3个偶数，共有C51C43＝20种取法；第二类是取3个奇数，1个偶数，共有C53C41＝40种取法．故不同的取法共有60种，选D.4．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有____种．(用数字作答)840【解析】由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A74＝840种．5．下列等式中成立的有．(填写序号)①Cnm＝Anmm！；②Cnm＝Cnn－m；③Cn＋1r＝Cnr＋Cnr－1；④An＋2m＋2＝(n＋2)(n＋1)Anm.①②③④【知识要点】1．分类加法计数原理完成一件事件有n____不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝种不同的方法．类m1＋m2＋m3＋…＋mn2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝种不同的方法．步骤m1·m2·…·mn3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及的不同方法的种数，它们的区别在于：分类加法计数原理与有关，各种方法，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与有关，各个步骤_，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．完成一件事情分类相互独立分步相互依存4．排列(1)排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示．(3)排列数公式：Anm＝，这里n，m∈N*，并且m≤n.按照一定的顺序排成一列所有排列n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)(4)全排列：n个不同的元素全部取出的，叫做n个不同元素的一个全排列，即Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝．于是排列数公式写成阶乘的形式为Amn＝．规定0！＝____．一个排列n！n！（n－m）！15．组合(1)组合的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用Cnm表示．(3)组合数的计算公式：Cnm＝AnmAmm＝＝_，这里n，m∈N*，并且m≤n.Cn0＝____．(4)组合数的性质：①Cnm＝____；②Cn＋1m＝____＋____．并成一组所有组合n！m！（n－m）！n（n－1）（n－2）·…·（n－m＋1）m（m－1）·…·2·11Cnn－mCnmCnm－1一、排列数与组合数的计算和应用例1(1)C100＋C102＋C104＋…＋C1010＝____．(2)已知1C5m－1C6m＝710C7m，则C8m＝____．(3)解方程：A2x＋14＝140Ax3.51228【解析】(1)C100＋C102＋C104＋…＋C1010＝2102＝29＝512.(2)m的取值范围为{m|0≤m≤5，m∈Z}．由已知得，m！（5－m）！5！－m！（6－m）！6！＝7×（7－m）！m！10×7！.即60－10(6－m)...
