了解导数概念的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)/掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义/理解导函数的概念第十四章导数第67课时导数的概念及几何意义1．曲线的切线如图所示，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，点P(x0，y0)是曲线C上一点．作割线PQ当点Q沿着曲线C无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT，我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P处的切线．2.导数的定义：设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，当自变量在x=x0处有增量Δx时，则函数y=f(x)相应地有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果Δx→0时，Δy与Δx的比为(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y＝f(x)在x→x0处的导数，记作y′|x＝x0，即f′(x0)＝3．导函数：如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x)，称这个函数f′(x)为函数y＝f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y′，即f′(x)＝y′＝如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都有导数，则称函数y＝f(x)在开区间(a，b)内可导．4．函数在一点处导数的几何意义：函数在一点处的导数为函数图象在这一点处切线的斜率．1．(2010·郑州高三月考)已知函数y＝f(x)在区间(a，b)可导，且x0∈(a，b)，则＝()A．f′(x0)B．2f′(x0)C．－2f′(x0)D．0解析：＝答案：B2．曲线y＝x3＋x在点(1，)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.B.C.D.解析：由y＝x3＋x得y′＝x2＋1，y′|x＝1＝2，则曲线y＝x3＋x，在点(1，)处的切线方程为：y－＝2(x－1)，即y＝2x－，令x＝0，y＝－；令y＝0，x＝，因此曲线y＝x3＋x在点(1，)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为S＝答案：A3．如右图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(0)]＝________；＝________.(用数字作答)解析：f(0)＝4，f(4)＝2；由导数的几何意义知＝－2.答案：2－24．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：②②式可用语言叙述为.解析：因为半径为R的球的表面积为S(R)＝4πR2，体积V(R)＝πR3，显然V′(R)＝S(R)，故第一个空填为(πR3)′＝4πR2，从而②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数．答案：(πR3)′＝4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数(1)函数在x＝x0处的导数是用函数极限定义的可利用导数的定义判断函数在x＝x0处的极限是否存在．导数与连续的关系是：可导必连续，连续但不一定可导．(2)函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念；在点x0处的导数是函数的导数在x＝x0处的函数值．【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝|x|(x≠0)的导数，并判断f(x)＝|x|在x＝0处是否可导．解答：当x＞0时，可使x＋Δx＞0f′(x)＝＝1.当x＜0时，同理可求f′(x)＝－1，＝1，又＝－1. ∴f(x)＝|x|在x＝0处不可导．变式1.已知f(x)在x＝x0处可导，且f′(x0)＝5，求解答：＋=＝f′(x0)＋f′(x0)＝f′(x0)＝5.若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则函数y＝f(x)的图象在x＝x0处是平滑的，f′(x0)是函数图象在(x0，f(x0))点切线的斜率．【例2】已知曲线方程为y＝x2，(1)求在点A(2,4)与曲线相切的直线方程；(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程．解答：(1) 由y＝x2得y′＝2x，∴y′|x＝2＝4，因此所求直线的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)解法一：设过B(3,5)与曲线y＝x2相切的直线方程为y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k，由得：x2－kx＋3k－5＝0，Δ＝k2－4(3k－5)＝0.整理得：(k－2)(k－10)＝0，∴k＝2或k＝10.所求的直线方程为：2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.解法二：设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2得y′＝2x，∴y′|x＝x0＝2x0，由已知kPB＝2x0，即＝2x0.又y0＝代入上式整理得：x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)，(5,25)，∴所求直线方程为2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.变式2.若直线y＝kx...
