归纳推理【例1】一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：则第9行第4个数是______．第1行1第2行23第3行4567……【解析】第1行第1个数为1＝20，第2行第1个数为2＝21，第3行第1个数为4＝22，…，第9行第1个数为29－1＝256，所以第9行第4个数为256＋3＝259.答案：259从特殊到一般，是归纳的特点．用归纳的方法导出结论一般是以审题、经验和直觉为前提的．本题从数表的特点出发，仔细观察第一列的特征，不难发现每行的第一个数的规律性．【变式练习1】根据下列5个图表及相应点的个数的变化规律，归纳出第n个图中点的个数f(n)与n的关系式f(n)＝_______________.【解析】f(2)－f(1)＝2；f(3)－f(2)＝4；f(4)－f(3)＝6；…；f(n)－f(n－1)＝2(n－1)．以上(n－1)个式子相加得f(n)－f(1)＝n2－n，所以f(n)＝n2－n＋1.类比推理【例2】在直角三角形ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1.那么，在空间四面体P—ABC中，是否具有类似的结论？22222222222290coscos1.—coscoscos1.ABCCABACBCACBCABABABPABCPACPBCPAB在直角三角形中，若＝，则＋＝＝＝在空间四面体中，若平面、、两两垂直，且这三个侧面与底面所成的二面角分别为、【解＋析、】，则＋＝应用类比要注意两类对象具有某些类似的特征，并由其中一类对象的已知特征推出另一类对象也具有这些特征．本题中，平面三角形有两条边相互垂直，同时与第三条边所成角已知；在空间四面体中，也应有三个面相互垂直，并同时与第四个面所成角已知，那么由于情景和性质完全相同，就可以进行类比了．【变式练习2】“在平面几何里，有勾股定理：设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是什么？22222222222SS+SS"SS+SS"ABCACDADBBCDABCACDADBBCDABACABCACDADBABACBCABCDABCACDADB平面空间，边垂直面垂直边长面积类比条件：两边、互相垂直侧面、、两两互相垂直．类比结论：＋＝＋＝所以猜想正确的结论是：设三棱锥－的三个侧面、、两两互相垂直，则＋＝【解析】222222.Rt·S111()().422SS.SABCOBCBCDACDBCDOCDABDBCDOBDABAOBCDOAEBCEABACADOBCDDAEAODEAEEOEDBCAEBCEOBCEDSSSSSS下面给出严格的证明．如图，作平面于点，于点由三个侧面两两垂直可知三条侧棱、、两两互相垂直，故为的垂心．在中，，有：＝，所以＝＝＝同理，＝，＝故2222S+SSCACDADBBCD＋＝演绎推理1//.21//23.ABCDEFOABCDCDEEFBCFOCDEBCCDEOCDF如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，是等边三角形，棱证明：平面；设＝，证明：平面【例3】().1//.21//,2/(1/)CDMOMABCDOMBCEFBCEFOM一组对边平行且相等的四边形是平行四边形大前提取的中点，连结在矩【证明】形中，又则小前提．()//.()()()EMEFOMFOEMFOCDEEMCDEFOCDE连结，于是四边形为平行四边形结论，所以平面外一条直线和平面内一条直线平行，则这条直线平行于这个平面大前提．又因为平面，平面小前提，所以平面结论．Ø()131()22().()()().2FMCDECMDMEMCDBCEFEFOMEOFMEMCDOMCDEMOMMCDEOMCDEOFMCDM证明：两条邻边相等的平行四边形是菱形大前提．连结，由和已知条件，在等边中，＝，所以＝＝＝小前提，所以平行四边形为菱形结论，所以一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，这条直线和这个平面垂直大前提．又，，＝小前提，所以平面结论，从而而＝，所以.EOCDF平面本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．分析上述推理过程，可以看出，推理的前提是一般性命题：平行四边形的判定与性质、线面平行的判定定理、线面平行的性质定理等，这些大前提一般可以省略，结论是蕴含在前提中的特殊位置关系．像这类推理证明题和其他知识结合到一起，属于知识综合题．解决此类题目时建立合理的解题思路是关键．【变式练习3】“将推理函数y＝2x2＋x－1的图象是”抛物线改写...
