知识梳理典例变式基础训练能力提升第11讲两角和与差的正弦、余弦与正切知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;(2)cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;(3)tan(α±β)=tan𝛼±tan𝛽1∓tan𝛼tan𝛽.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=2sinαcosα;(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(3)tan2α=2tan𝛼1-tan2𝛼.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理【常用结论】1.公式T(α±β)的变形:(1)tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);(2)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).2.公式𝐶2𝛼的变形:(1)sin2α=12(1-cos2α);(2)cos2α=12(1+cos2α).3.公式逆用:(1)sinቀπ4±𝛼ቁ=cosቀπ4∓𝛼ቁ;(2)sinቀπ3±𝛼ቁ=cosቀπ6∓𝛼ቁ;(3)sinቀπ6±𝛼ቁ=cosቀπ3∓𝛼ቁ.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理4.辅助角公式asinα+bcosα=ξ𝑎2+𝑏2sin(α+φ)ቀ其中tan𝜑=𝑏𝑎ቁ,特别的sinα±cosα=ξ2sinቀ𝛼±π4ቁ;sinα±ξ3cosα=2sinቀ𝛼±π3ቁ;ξ3sinα±cosα=2sinቀ𝛼±π6ቁ.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型一三角函数的化简与求值【例1-1】(1)已知sinቀπ6-𝛼ቁ=cosቀπ6+𝛼ቁ,则tanα=()A.-1B.0C.12D.1(2)计算sin110°sin20°cos2155°-sin2155°的值为()A.-12B.12C.ξ32D.-ξ32(3)已知θ∈ቀ0,π4ቁ,且sinθ-cosθ=-ξ144,则2cos2𝜃-1cosቀπ4+𝜃ቁ=()A.23B.43C.34D.32(4)已知0<θ<π,则(1+sin𝜃+cos𝜃)൬sin𝜃2-cos𝜃2൰ξ2+2cos𝜃=.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)因为sinቀπ6-𝛼ቁ=cosቀπ6+𝛼ቁ,所以12cosα-ξ32sinα=ξ32cosα-12sinα.所以1-ξ32cosα=ξ3-12sinα.所以tanα=sin𝛼cos𝛼=-1,故选A.(2)sin110°sin20°cos2155°-sin2155°=sin70°sin20°cos310°=cos20°sin20°cos50°=12sin40°sin40°=12,故选B.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(3)由sinθ-cosθ=-ξ144,得sinቀπ4-𝜃ቁ=ξ74,因为θ∈ቀ0,π4ቁ,所以0<π4-θ<π4,所以cosቀπ4-𝜃ቁ=34,2cos2𝜃-1cosቀπ4+𝜃ቁ=cos2𝜃sinቀπ4-𝜃ቁ=sinቀπ2-2𝜃ቁsinቀπ4-𝜃ቁ=sin2ቀπ4-𝜃ቁsinቀπ4-𝜃ቁ=2cosቀπ4-𝜃ቁ=32,故选D.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(4)原式=ቆ2sin𝜃2cos𝜃2+2cos2𝜃2ቇቆsin𝜃2-cos𝜃2ቇඨ4cos2𝜃2=cos𝜃2൬sin2𝜃2-cos2𝜃2൰ฬcos𝜃2ฬ=-cos𝜃2·cos𝜃ฬcos𝜃2ฬ.因为0<θ<π,所以0<𝜃2<π2,所以cos𝜃2>0.所以原式=-cosθ.【答案】(1)A(2)B(3)D(4)-cosθ知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则(2)三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【例1-2】(1)(2019·太原模拟)已知角α是锐角,若sinቀ𝛼-π6ቁ=13,则cosቀ𝛼-π3ቁ等于()A.2ξ6+16B.3-ξ28C.3+ξ28D.2ξ3-16(2)若α,β是锐角,且sinα-sinβ=-12,cosα-cosβ=12,则tan(α-β)=.(3)tan20°+tan40°+ξ3tan20°tan40°=.(4)sin50°(1+ξ3tan10°)=.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)由0<α<π2,得-π6<α-π6<π3.又sinቀ𝛼-π6ቁ=13,∴cosቀ𝛼-π6ቁ=ට1-sin2ቀ𝛼-π6ቁ=ට1-ቀ13ቁ2=2ξ23.∴cosቀ𝛼-π3ቁ=cosቂ(𝛼-π6)-π6ቃ=cosቀ𝛼-π6ቁ·cosπ6+sinቀ𝛼-π6ቁsinπ6=2ξ23×ξ32+13×12=2ξ6+16,故选A.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(2)因为sinα-sinβ=-12,cosα-cosβ=12,两式平方相加得:2-2cosαcosβ-2sinαsinβ=12,即2-2cos(α-β)=12,所以cos(α-β)=34,因为α、β是锐角,且sinα-sinβ=-12<0,所以0<α<β<π2.所以-π2<α-β<0.所以sin(α-β)=-ඥ1-cos2(𝛼-𝛽)=-ξ74.所以tan(α-β)=sin(𝛼-𝛽)cos(𝛼-𝛽)=-ξ73.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(3)由tan(20°+40°)=tan20°+tan40°1-tan20°tan40°=ξ3,得tan20°+tan40°=ξ3(1-tan20°tan40°),∴原式=ξ3(1-tan20°tan40...
